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Matematica. — Sulle funzioni di due o più variabili com- 

 plesse. Nota del Corrispondente T. Levi-Civita. 



Sia io = u -f- iv (u e v reali) funzione di una variabile complessa 

 z = x -f- iy • 



Applicando alle relazioni di monogeneità 



~òu Dy ~òv ~òu 



~òx ~by ' ~òx ~òy 



il teorema di esistenza (e usufruendo della solita rappresentazione piana dei 

 valori reali di x , y), si è condotti al risultato ben noto : 



Se, sopra un arco di curva 2 (analitico e regolare), si danno ad ar- 

 bitrio due funzioni p , q (reali, analitiche e regolari), rimane univocamente 

 determinata una funzione w(z), che prende sopra 2 i valori p-\-iq, e si 

 comporta regolarmente in un certo campo C del piano x , y , che comprende 2 

 nel suo interno. 



Questo modo di caratterizzare una funzione w(z), in base ai teoremi di 

 esistenza di Cauchy, è suscettibile di facile estensione alle funzioni di due, 

 e più generalmente di quante si vogliono, variabili complesse. 



Limitiamoci intanto al caso di due variabili 



z = x -{-iy , / = x' + iy' -, 



e ricorriamo, come d"abitudine, a linguaggio geometrico, considerando uno 

 spazio S 4 rappresentativo dei valori delle quattro variabili reali x , y , x' , y . 



Chiamiamo — come si sia condotti a tale definizione apparirà qui ap- 

 presso — superficie caratteristica di S 4 ogni varietà a due dimensioni, che 

 risulti dal porre fra s e z' un vincolo analitico (il che implica due rela- 

 zioni reali fra le coordinate x , y , x , y'). Chiamiamo poi genericamente 2 2 

 una varietà reale a due dimensioni. 



Sussiste la proposizione seguente: 



Se J sopra una 2 2 non caratteristica di S 4 {analitica e regolare) 

 si danno ad arbitrio due funzioni (reali J analitiche e regolari) p e q, 

 rimane univocamente determinata una funzione w(z,z'), che prende in 2 2 

 i valori p -\- iq e si comporta regolarmente in un certo campo C di S 4 

 (a quattro dimensioni), che contiene la 2 2 . 



Come corollario discende che una funzione w(z , z'), la quale si annulla 

 sopra una 2 2 non caratteristica, è identicamente — 0. Si noti che la restri- 

 zione non caratteristica è essenziale, come apparisce da ovvi casi partico- 

 lari. Prendiamo per es. w con P polinomio in La funzione w 



