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si annulla allora per d = 0, cioè in tutto il piano caratteristico x' = 0 , 

 y = 0, eppure non è identicamente nulla. 



Per il caso di un numero qualunque di variabili leggasi il n. 4. 



1. Dimostrazione del teorema di esistenza in un caso particolare. — 

 Le relazioni di monogeneità per una funzione 



io ( 2 ,2 r ) = u(x,y;x', y') -f i v (x , y ; x' , y') 



delle due variabili complesse z = x -f- iy > s' = %' -\- iy' sono 



n > lw lyv_ ~òv ~òu ~òu _ iiv ~ì>v _ ~$u 



~òx ~òy ' ~òx ~òy ' ~òx' ~òìj' ' ~òx' ~)>y' ' 



le quali ci presentano le quattro derivate di u , v rapporto ad x ,x' espresse 

 mediante le altre quattro, relative alla coppia y , y'. 



È chiaro che, derivando successivamente le (1), si riesce ad esprimere 

 una derivata d'ordine qualunque di u , v , in cui le x , x appariscano una o 

 più volte come variabili di derivazione, mediante una derivata dello stesso 

 ordine, relativa alla sola coppia y , y . 



Ciò posto, applichiamo il solito procedimento di Cauchy, immaginando 

 che, di due presunte funzioni (regolari) u , v soddisfacenti alle (1), sieno 

 dati (ad arbitrio, tranne la condizione di regolarità) i valori p(y, y') , q(y, y'), 

 presi per x = x = 0. Per questi stessi valori rimangono senz'altro definite, 

 a norma della osservazione fatta, anche tutte le derivate, e si possono per 

 conseguenza costruire gli sviluppi formali di Taylor. Tutto si riduce a pro- 

 varne la convergenza, il che è pure pressoché immediato. 



Riferiamoci infatti ad un generico sistema di valori di regolarità per p 

 e q , valori, che senza pregiudizio della generalità, potremo supporre essere 

 y = O ì y' = 0. Potremo del pari assegnare due costanti positive M ed r, 

 tali che 



M 



d = j 7 



1 _y_±JL 



r 



riesca maggiorante così di p , come di q. 

 Se si formano le equazioni 



^ ' ~òx ~ ~òy ' l>x ~ ~òy ' l>x ~òy' ' ~òx ~òy' 



e si immagina di fare il calcolo delle derivate successive di U e V, in base 

 alle condizioni iniziali: J] = V = co per x = x' = 0, si vede subito che gli 

 sviluppi formali di U , V riescono maggioranti di quelli costruiti per u e v. 



Ora questi sviluppi di U,V convergono (per \x\ , \x'\ , \y\ , \y'\<L r/4), 

 perchè le funzioni U , V, soddisfacenti al sistema ausiliario (2) e alle accen- 



