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Supponiamo questa condizione soddisfatta nell'intorno di un punto ge- 

 nerico di 2 2 . 



Il sistema (T) si può allora presentare sotto l'aspetto 

 <1") 2E = h 1 ,^ = K 1 ,'2E = ]J ! ;^.= K s , 



D(>i l)Qi IìQì llQz 



dove Hi , Kj , H 2 , K 3 sono funzioni lineari ed omogenee delle quattro deri- 

 vate di u , v rapporto a g 3 , q 4 , i coefficienti dipendendo (in modo analitico 

 e regolare) dalle q (in generale da tutte quattro). 



Sarebbe assai facile, modificando opportunamente la dimostrazione del 

 n. 1, riconoscere per via diretta l'univoca esistenza di integrali delle (1"), 

 riducentisi sopra 2. 2 a due assegnate funzioni regolari p , q (delle varia- 

 bili q 3 , q 4 ). Ma è anche più comodo riportarsi senz'altro ai risultati gene- 

 rali del sig. Riquier, che stabiliscono il teorema di esistenza per qualsiasi 

 sistema ortonomo passivo: il sistema (1") vi rientra infatti come caso par- 

 ticolarissimo ( x ). 



Una funzione iv(s , z') rimane pertanto univocamente determinata dai 

 valori p -f- iq , presi sopra una qualunque superficie 2 2 , per cui non sia 

 D = 0. 



3. Superficie caratteristiche. — Chiameremo, come è naturale, carat- 

 teristiche quelle eccezionali varietà (reali) a due dimensioni, per le quali 

 il determinante D si annulla. 



Cerchiamo di interpretare questa condizione differenziale. 



Giova all'uopo renderla più semplice, immaginando di sostituire alle 

 equazioni (3), da cui si prende le mosse per formare D, due equazioni equi- 

 valenti in forma risoluta. Senza ledere la generalità è lecito assumerle sotto 

 la forma 



Ltf— sp(«,.y) = 9? 



( y — ip(x,y) = 0. 



Infatti, le (3) sono certo atte a definire due delle quattro variabili ,x,y ,x' ,y' 

 in funzione delle altre due. 



(i) Veggasi Riquier, Sur une questioni fondamentale de calcul integrai, Acta Ma- 

 thematica, t. 23, 1900. 



Nel nostro caso basta per es. attribuire alle funzioni e alle variabili le quote seguenti: 



U V Qi Qs Q<t Q t 



Prima quota 

 Seconda quota 



0 0 0 0 0 0 

 0 0 1 10 0 



Rendiconti. 1005, Voi. XIV, 2° Sem. 



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