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 Se la coppia definita non è (x , y'), sarà 



ovvero 



(x , %') 



(y , y') , ioc , y') 



(y - A 



Il primo caso si riconduce subito alla forma (4) scambiando fra loro 

 le due variabili z , z'. 



Degli altri quattro basta considerare il primo, poiché i successivi si 

 riducono ad esso immaginando di cambiarvi ordinatamente z , z' in : n , iz' ; 

 z , iz' ; iz , z' . In questo caso, esclusa che sia la risolubilità tanto rispetto 

 ad sc',y' , quanto rispetto ad x,y, le equazioni definienti x,x'non possono 

 essere se non del tipo 



( x — Y =0, 



(5> ì,' Y' = 0. 



con Y funzione della sola y , Y' funzione della sola y'. Ma allora, posto 



Qi — x — Y , q 2 — x' — Y', 



risulta 



quantità essenzialmente positiva. 



Nessuna superficie (5) può dunque essere caratteristica, ed è perciò giu- 

 stificato di attenersi esclusivamente alla (4). 



Prendendo poi 



si ha 





= x' — 



<P {x , y) , 







= y — 



y(x,y), 





~ò(p 









~òx 



~òy 



~àx 



^y 



~ò(p 









^y 



~~ÒX 



"ty 



~ÒX 



ì 



0 



0 



— 1 



0 



1 



ì 



0 



Aggiungendo alla prima colonna la quarta, e alla seconda la terza cambiata 

 di segno, il determinante D si riduce al prodotto dell'unità per 



~òx ~òy 



l>y 



~òx 



~Òcp ~ò\p 

 ~òy T ~òx 



~òx !>y 



\~òx ~òy) Yòx ' l>y) 



