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e può quindi annullarsi (nel campo reale) allora e solo allora che si abbia 

 ad un tempo 



Dy ~ò}p 'j*P_ _ ~ì><f 



~òx ~òy ' ~òx ~òy 



Queste equazioni esprimono che <p-\-ity è funzione della variabile com- 

 plessa z. Designandola con f(z), le (4) si possono compendiare in 



che porge così, risguardandovi f come arbitraria e & scambiabile con z' (ciò, 

 che del resto dà in più solo i piani z = cost.) la rappresentazione in ter- 

 mini finiti delle superficie caratteristiche. 



È facile precisare il comportamento di una superficie caratteristica di 

 fronte alle condizioni di esistenza di una w(z , z'). 



Anzitutto, immaginando preventivamente effettuato un cambiamento delle 

 due variabili (complesse) indipendenti z , z (in z , z' — f(z) ), è sempre le- 

 cito supporre che la caratteristica in questione sia il piano / = 0. I valori 



che vi prende una generica funzione w(z,z'), non sono arbitrari (come — 

 a prescindere dalle condizioni di analiticità e regolarità — accade per le 

 altre superficie), ma vincolati dalla condizione che p -f- iq risulti una fun- 

 zione Z della variabile complessa z. 



Soddisfatta questa condizione, esistono infinite funzioni w , che si ridu- 

 cono a Z per z' = 0. È ciò che apparisce dalla formula 



w =z-}-y • wi, 



dove si può intendere per w x una funzione arbitraria delle due variabili z , z' 

 (regolare nel campo che si considera). 



La univoca determinazione di w è così ricondotta a quella di Wi , ecc. 



4. Funzioni di n variabili. — Per una funzione w = u -j- iv delle n 

 variabili complesse 



#i == X\ ~\~ ìyi j £2 = #2 -f- iì/2 i ••■ i s n — x n -J- iy n , 



si hanno le 2n relazioni di monogeneità 



~òu Iv Iv ~ì>u , , _ . 



= , = (v == 1 , 2 , ... , »), 



~òx-> ~òzv !>ys 



ed è subito visto (procedendo come a n. 2) che si possono dare ad arbitrio 

 valori (regolari) p , q di u , v sopra una varietà analitica ad n dimensioni 2„ 

 (dello spazio reale a 2n dimensioni x x ,y x ,z%,y% , — , x n , y n ), purché soltanto, 

 nei punti di essa 2 n , non sia nullo un certo determinante D M d'ordine 2n: 

 la w rimane con ciò univocamente determinata. 



