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dove nel primo membro la sommatoria è estesa a tutti i valori delle 

 io , ii , . . . , i r e delle k 0 , ki , . . . , k r per cui 



1° h < h < ■ • • < ir-i <Ìr , k 0 < fa < • • • < h r -x < k r 5 



2° i 0 , ii , ... , i r è una disposizione di r-\- 1 numeri della serie 0 , 1 , ... , m ; 

 k 0 , ki k r è una disposizione di r -j- 1 numeri della serie di wz -f- 1 

 numeri, che si ottiene dalla serie 0 , 1 , . . . , n togliendo j\ ,j 2 , . . . ,_/„_ m ; 

 il segno poi sarà -f-, oppure — , secondochè è di classe pari, oppure dispari, 

 il minore 



N(t o , ti ir j J 1 i Jì ì ' • • i Jn-m i 



k Q ^ki , . . • , k r ; ||A|j) 



pensato come appartenente al determinante D|- 1 j J „. i? - w _ m . 

 Osserviamo che per il lemma precedente vale: 



(3) 



N(?'o t i\_ i • • • t ir 'i Ji i ]% ) • • • i Jn-m i ko , ki , . . . , k r \ | A ||) 



= N(0 , 1 , . . .,r jn-m i ko -, ki , . . . , k r ; Il A ||) 



N(f e , ii , . . . , i r ; m — r,m — r -f- 1 , . . . ,n ; || A| | ) 



N(0,1 



, r ; m — r , m — r -\- 1 , . . . ,n ; ||A| 



Siccome Z è un punto generico di non possono essere tutti nulli i 



determinanti di ordine m — r contenuti nella matrice ||a ift || (? = 0,l,...,w; 

 k = 0 , 1 , . . . , m — r — 1), quando ben inteso si pensino le g 0 , #i , •■ , %a 

 come coordinate del punto generico Z; quindi pensando sempre le s„ > ^i > 

 come coordinate di Z , il sistema di equazioni (nelle incognite omogenee x) . 



aou Xo + aiu X\ + • ' • + a mu x m = 0 {u — 0 , 1 , . . . , m — r — 1) 



ammetterà oo r soluzioni; perciò si potrà scegliere un sistema 



bua ì bui i • • • -, bum == 0,1,...,?*) 



di r -j- 1 soluzioni linearmente indipendenti. Per un noto teorema del prof. 

 E. D'Ovidio (') segue: 



N(«'o , iy , . . . , i r ; m — r,m — r + 1 , . . . , n ; ||A||) = 



= ^•(-1) 



bo,i 0 b 0 ,i l • • • bo,ir 



bi,i 0 $i,ì, • • • ài } i r 



br,iD b r ,i t • • ■ b r j r 



(!) Cfr. il teorema del § II delle Ricerche sui sistemi indeterminati di equazioni 

 lineari, « Atti della E. Acc. delle scienze di Torino », 12, 1877. 



