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un [rj, quando r n — X dove X = min(m,n), è la varietà J ( x_„+,-+i, 

 di dimensione d — (r -J- 1) (m — n -f- v + 1) e di ordine (d -f- m — n , d ; 

 d — r , d — r ; p 0 , pi , . . . , p m , 0 , . . . , 0 ; 0 , 0 , . . . , 0) d _ r , ossia ( ! ) di or- 

 dine (m ,n;n — r , n — ri Po', pi p m ; 0 ,.Q, 0 )„_ r . La J ( x_„+r-M> 

 S2 swo/J chiamare la (X — « r ~f~ l) S!ma varietà Jacobiana cfe/J/Je F 0 , F t , ... , 

 F w , F„, +1 , . . , F d+m _„ , avendo indicato cori F m+1 , . . . , F d+TO ^ n , d — » 

 iperpiani (linearmente indipendenti) individuanti il dato spazio \n\ . La 



Ji /wog-o dei punti per cui gli iperpiani polari rispetto alle F 0 , Fi , . . . , F m 

 taglino il dato spazio \jf} secondo un \_n — X~\ . 



Se il punto Z* è un punto generico e quindi non giacente nel dato 

 spazio [n~], allora la J ( x_ n+r+1) ammette in esso una molteplicità (d-\-m—n,d; 

 d — r , d — r ; rj 0 , r} x , . . . , r> m , 0 , . . . , 0 ; 0 , 0 , . . . , 0)d_ r , ossia (m:n; 



n — r,n — r; j? 0 ,i?i ,.. :,rj m ; 0,0,..., 0)„_ r ; il luogo J^.i„ +r+1) delle 



tangenti in Z* alla J ( x_„ +r+1 , è di dimensione d — (r-j-l)(m — n-\-r-\-\) 

 e di ordine (m ,n;n — r , n — r ; rj 0 , ^ , . . . , rj m ; 0 , 0 , . . . , 0)„_ r . Tale 



varietà J ( ( ^i n+r+l) è la (X — n -\- r -\- Y) sima varietà Jacobiana della F[, T) , 



F1 T> , . . . , F£ } , F m +i , • • • , ~Fd+ m -n ed è quindi anche il luogo dei punti 



, TT. / — i n ,, della J1 T) . Si ha poi simbolicamente: 



l_(r — n + /) ! (m -j- n — 2X -{- 1) ! J 



Ja-n+r+i) = ^^ ; Ji = ^P-BJj , purché alla c di *P si attribuisca il valore n — r . 



«Se invece il punto Z* è un punto generico dello spazio [_n~\ , allora la 

 J c x_n +r +i) ammette in esso la molteplicità (d-\-m — n , d ; d — r , d — r ; 

 »?o » ^i , ,• • • v> » 0' , 0 . . 0 ; 1 , 0 , . . . , 0) d -r , ossia (m ,n ; n — r ,n — r ; 



i]o , *7i i • • • , Vm ; 1 , 0 , . . . , 0) n -r, e V ordine della J ( ( ^l„ +r+1) luogo delle 



tangenti in Ti* alla J ( \^ n + r+1) sarà quindi uguale a (m,n ; n — r,n — r\ 



i?,,^,...,i? m ;l.y0 0)„_ r ( 2 ). La J ( ( x T ^ +r+1) poi non è la (X — n-\-r-\-l) sima 



varietà Jacobiana delle F[, T) , Fi T) , . . . , F£> , F OT+1 , . . . , F rf+TO _ n , ecc. 



{'•) Qui si applica più volte la proprietà : La funzione (m , n ; c , c ;p 0 , pi , . ■ ■ , fm ; 

 q<, , q x , .. . ,q n )c, quando è o<c^Lmin (m,n), p m = q n = 0 , è identicamente uguale a (m — 1 , 

 n — 1 ; e — lifi 1; p<> > pi , ■ . • , pm—i ; ?o , ?i > • • • > i)c— i ■ 



Per brevità si omette la dimostrazione ; del resto è facile trovarla, quando si pensi 

 che la funzione [m , n ; c , c ; p 0 , pi , . ■ . , p m ; q<> , qx , ■ ■ ■ , qn)c si può scrivere sotto forma 

 d'un conveniente determinante di ordine (m-\-n — 2c), tenendo conto della l a proposizione 

 del § 7 della mia citata Memoria. 



Nel seguito del presente Lavoro non si accennerà in quali luoghi occorra tener conto 

 di questa proprietà della funzione (m , n ; c , c ; p 0 , pi , . • . , p m ; q a , ?i , . . • , q n )c • 



( 2 ) Questi risultati sulle varietà Jacobiane nel caso particolare A = m = n — r costi- 

 tuiscono un teorema della citata Nota del Lorenzola. 



Rendiconti. 1905, Voi. XIV, 2° Sem. 



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