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Matematica. — Sulle equazioni lineari a derivate parziali 

 del 2° ordine. Nota del Corrispondente Luigi Bianchi. 



« Nel tomo 2° delle belle Lezioni sulla teoria generale delle superficie 

 del sig. Darboux e nell'ultima Memoria del Du Bois Keymond, inserita nel 

 104° volume del Giornale di Creile, sono contenuti risultati di grande im- 

 portanza per la teoria delle equazioni lineari a derivate parziali del 2° or- 

 dine con due variabili indipendenti x, y. In particolare per le equazioni del 

 tipo iperbolico, nelle quali cioè i due sistemi di linee caratteristiebe sono 

 reali e distinti, viene dimostrato il teorema fondamentale, secondo il quale 

 in ogni quadrilatero racchiuso sul piano xy da quattro caratteristiche, fissati 

 i valori che l'integrale assume lungo due lati adiacenti del quadrilatero, risul- 

 tano individuati i valori dell'integrale stesso in tutta la regione interna del 

 quadrilatero A questo teorema fa riscontro, per le equazioni del tipo ellit- 

 tico (a caratteristiche immaginarie), l'altro che i valori assunti dall'integrale 

 nell'interno di un campo connesso sono generalmente individuati dai valori 

 che l'integrale riceve sul contorno del campo. Alcune semplici osservazioni 

 contenute nella presente Nota permettono appunto di stabilire con molta ge- 

 neralità questo risultato ( 2 ). Il processo stesso è immediatamente estendibile 

 come si vedrà, al caso di un numero qualunque di variabili indipendenti. 

 Però non viene qui affatto trattata la questione molto più difficile se tali va- 

 lori al contorno possano darsi effettivamente ad arbitrio, questione che, salvo 

 pochi casi particolari, non sembra per ora prossima a risolversi. 



§ 1. 



« Si abbia la equazione (puramente) lineare del 2° ordine con due varia- 

 bili indipendenti x, y : 



(1) a — ;-f-2£ 4-c — r 4- a — 4-8 — = ys4-ó, 



v ~òx 2 1 Dx n ~òy 2 T ~òx ' - ~òy ' T ' 



in cui i coefficienti <z, è, c, «, 8, y, S sono funzioni assegnate di y, x, che in 

 tutto il campo connesso C da considerarsi sul piano xy (il contorno incluso) 

 supponiamo finite e continue insieme colle loro derivate prime. Rispetto al con- 

 torno s di C (onde siano applicabili le forinole di trasformazione di integrali 

 doppi in integrali semplici, cui ricorreremo) dovremo ammettere che, salvo 

 al più un numero finito di punti eccezionali, abbia in ogni punto una tan- 

 gente determinata, la cui posizione vari in modo continuo insieme col punto 



(!) Darboux § 364; Du Bois-Reymond § 15. 

 ( 2 ) Veggansi i teoremi A), B), C). 



