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ammette un integrale regolare positivo nell'interno del campo e nullo al con- 

 torno In ogni caso però potremo restringere convenientemente il campo C 

 in guisa che nel nuovo campo valga ancora la proprietà indicata nel teorema A)* 

 Per dimostrarlo cominciamo dal provare il seguente teorema complementare 

 di A) e nel quale non facciamo alcuna limitazione rispetto al segno di y : 



« B) Se 1' equazione F (z) = yz ammette un integrale rego- 

 lar e v che non si annulli nè nell'interno nèsul contorno del 

 campo C, due integrali regolari della (1), che coincidano sul 

 contorno, coincideranno anche nell'interno. 



« Su pponiamo infatti che esista un integrale regolare di 



Y(z) = yz 

 nullo sul contorno di C e poniamo 



z=rZ; 



ne risulterà per Z l'equazione 



che è della forma stessa (1) con y = 0 . Ora restando v discosto da zero, 



l'integrale Z = — della (<?) è evidentemente regolare come z "e v ; di più 



essendo Z nullo al contorno, pel teorema A) sarà Z, quindi anche z = rZ , 

 nullo nell'interno c. d. d. 



« Ora se prendiamo ad arbitrio un integrale regolare u della equazione 

 F (z) — ys potremo sempre staccare dal campo C un campo parziale C tale 

 che u non si annulli nè all'interno di C nè sul contorno. Al nuovo campo 

 C è allora applicabile il teorema B) ; otteniamo dunque il risultato finale : 



« C) Gli integrali rogolari di ogni equazione (1) del tipo 

 ellittico, quando si considerino in un campo che non ecceda 

 certi confini, risultano individuati dai valori che prendono 

 sul contorno del campo. 



§ 5. 



« Non sarà inutile una digressione relativa alla equazione F (s) — 0 , 

 che supponiamo già ridotta alla forma normale (7) 



w ice ]_ l>x . 1 1)ì/J 1 1»?/ L 'l>x 1 7>yJ 



C 1 ) Ueber ein die Flàchen kleinsten Flàcheninlwlts betreffendes Problem der Varia- 

 tionsrechnung (Helsingfors 1835). 



