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« Se 2 ne è un integrale, l'espressione 



\ (2b — a) — 4- c—\dx — \dy 

 \_} J lx^ lyj L T>x ^JJ 



è il differenziale esatto di una nuova funzione /, per la quale sussistono le 

 forinole : 



) ~èx v 7 lx 1 ly 



~ÒS' 12 . 12 



- — — a — 4- a 



~òy lx ly 



Ora se osserviamo che, per la (6), le espressioni 

 (2b — a) dx — ady , cdx — ady 

 sono differenziali esatti e poniamo 



x' = j"((2# — a) dx — ady} , y' = ^{cdx — ady) , 



potremo esprimere / per le nuove variabili x', y' che sono indipendenti, giac- 

 ché, a causa di ac — b 2 > 0 , non può essere 



ac — a (2b — a) — 0 , 

 e le (9) prenderanno la forma semplice 



1)2' l2_ 12' _ ~Ò2 



lx' IX li/ ly 

 * Di qui, eliminando per derivazione 2, risulta che 2' soddisfa all'equazione 



o 2 . ò 2 . 0 2 



a — jt 4- 2b — y — 7 + c — == 0 . 

 lx 2 1 lx ly' 1 ly 2 



« Inversamente prendendo per x' , y' due funzioni arbitrarie di x, y, le 

 formole 



j x =x (x, y),y' = y (x, y) 



\ 



^ 12' 12 



lx' lx ly' ly 



conducono tanto per la funzione 2 che per la coniugata 2' ad un' equazione 

 della forma considerata ( 1 ). Del resto queste formole appartengono, come caso 

 particolare, ad una teoria per la trasformazione delle equazioni a derivate 

 parziali dovuta al sig. Bàcklund ( 2 ). 



(!) Pel caso particolare della equazione di Jellet relativa alla deformazione infinite- 

 sima di una superficie flessibile ed inestendibile, le relazioni fra la funzione z e la coniu- 

 gata / furono già considerate dal mio amico prof. Volterra (Vedi Kendiconti di questa 

 Accademia. Aprile, 1884). 



( 2 ) Cf. specialmente Mathematische Annalen Bd. XIX. 



