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§ 7. 



« Per dimostrare il teorema A') possiamo dunque, senza alterare la ge- 

 neralità, supporre F(j) posta identicamente sotto la forma 



(14) F(;)=i^ L y« ik ^- 



! dXi k <Wfe 



con 



(14') a u = oca , a ik -f- « M = 2am . 



«■ Ora sappiamo che se Xi , X 2 , ... X„ denotano funzioni finite e continue 

 di X\ x 2 ... x n in tutto S n (incluso il contorno S n _i) colle derivate prime finite 

 e atte alla integrazione, sussiste la formola: 



dove il 1° integrale è esteso allo spazio S„ ed il 2° al contorno S„_i , le 

 derivate — - essendo prese rispetto alla normale interna p al contorno S n -i ('). 

 Supposto che s sia un integrale regolare di 



F. (*) = >". 



possiamo porre nella (15) 



ir Iixì 



il che dà 



ovvero per le (14') e poiché F(z) — y&\ 



(16) t'ùi^fì. ^1^*=- ( --(l^««^rW,-,. 



« Ma per l'ipotesi fatta sulla forma (11), l'espressione 



ì ir ~òxi ~òxii 



~t)Z 



è sempre positiva ed è nulla soltanto se —== — = ••• = -— = 0 ; non 



essendo inoltre y negativo in nessuna porzione di S„, segue dalla (16) che 

 un integrale regolare di F (s) — yz nullo al contorno S n _j è necessariamente 

 nullo in tutto S„ ; il che dimostra il teorema A'). 



(') Vedi Beltrarai, Teorica dei parametri differenziali. § 1. 



