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Matematica. — ■ Numero degli spazi che segano più rette in 

 uno spano ad n dimensioni. Nota di Guido Castelnuovo, presen- 

 tata dal Corrispondente E. D'Ovidio. 



« Fra le questioni che appartengono alla Geometria Enumerativa, va 

 notata per la sua importanza algebrica e geometrica la seguente: Quanti 

 sono gli spazi ad s dimensioni che soddisfanno a più condi- 

 zioni fondamentali date in uno spazio ad n dimensioni? Na- 

 turalmente le condizioni si suppongano tali da rendere determinato il problema. 



« Il sig. Schubert per primo in due noti lavori (') diede la soluzione 

 di qualche caso del problema. Ad un altro caso e precisamente a questo : 

 Quanti spazi ad s dimensioni segano più rette dello spazio 

 ad n dimensioni e soddisfanno ad un'altra condizione fon- 

 damentale? è dedicato il presente lavoro. Il procedimento seguito consiste 

 nel dimostrare che il numero richiesto uguaglia il numero delle soluzioni di 

 un problema trattato dal sig. Schubert nel secondo dei lavori citati, sebbene 

 gli enunciati dei due problemi non presentino analogie. Forse relazioni dello 

 stesso tipo, ma più generali, passano tra vari casi del problema enunciato 

 in principio. 



« i. Dato un numero intero n diremo in seguito che s -f- 1 (=n-j- 1) 

 numeri interi ordinati soddisfanno alle condizioni c), quando 

 ^ lj ciascuno di essi supera i precedenti, 



\ il primo non è negativo e l'ultimo non supera ri. 



« Siano ad es. a» , a 2 , ••• à s gli s — j— 1 numeri. Se conveniamo di 

 indicare con \_a\ uno spazio ad a dimensioni, possiamo pensare in [_n\ s-J-1 

 spazi [c/ 0 ], \_a{], [aj, ... [ai s ], ciascuno contenuto nei seguenti. Col simbolo 



(a 0 , a x , a 2 , ... a s ) 



rappresenteremo la condizione fondamentale a cui deve soddisfare un [_s~\ 

 di \jf\ per incontrare [a 0 ] in un punto, \_a{] in una retta, \_a 2 ~] in un piano 

 ...e giacere in i numeri a 0 , a x , a 2 , ... a s saranno detti elementi del sim- 



bolo. Gli spazi [_s~] che soddisfanno alla precedente condizione fondamentale 

 formano un sistema il cui grado di infinità è : 



«o + eh -f- a 2 -) (- a s — s ^ ~^ 1 ^ ■ 



« La condizione più generale per un [s] di [n~\ di segare più spazi dati 



(') Die n-dimensionalen Ver allgemeinerungen der fundamentalen Anzahlen unseres 

 Raumes. Matli. Ann. 26. — Anzahl-Bestimmungen fur lineare Ràume beliebiger Dimen- 

 ■sion. Acta Mathematica. 8: 2. 



