e tenendo conto dell'uguaglianza precedente e della 1') , 



2) (a 0 , ai , a 2 ) (1, a 2 — 1, a 2 ) = (0, a 0 -f l,a,-p2) -f (0, <z 0 + "2, «j + 1) -(- 



-f- (1, a 0 + 1 , «i + 1) • 

 Così procedendo si arriva alla formala fondamentale richiesta 



(«o , «i > a% , - ««) (1, a s — s-|- 1, a $ — s -j- 2 , ... « s )= 

 ( (1, «o + 1, fli + !'» - «s-i + 1) + (0> + 2, «i + 1, ... a s -i -f- 1) 



(+(0, «o + 1, «i + 2, ... «. s _! + 1) H h (0, + 1,0! + 1, ... (h-i + 2), 



la quale si dimostra valere in ogni caso, purché si attribuisca il valore 0 ad 

 ogni simbolo del secondo membro i cui elementi non verifichino le condi- 

 zioni è) (§ 1) (nelle quali si supponga n — a^). 

 * 3. Indicheremo con 



<f n (a 0 , «!, a t 'i ... a s ) 

 il numero di soluzioni che ammette il problema: trovare uno spazio [s] 

 che verifichi la condizione (a Q , a x , a z , ... e inoltre seghi in 

 punti N rette date in ; essendo N tal numero da render determi- 

 nato il problema. I numeri a 0 , a x a%\ ... a s , scelti come al § 1, si diranno ele- 

 menti di (f. Lo scopo che ci proponiamo è di calcolare <p n {a o , ai , a 2 i ... a s ) 

 mediante le a. Si vede subito che la funzione cp n (a o i ai , a 2 , ... $s ) ha senso 

 soltanto (in base al § 1). 



I. se à s <^n — 1 e 



. . , . • s(s + l) A 



«o + fli-f fl H r a * g — = ' 



II. se à s è uguale ad n — 1 o ad n, ed 



i i i i s (s + 1 ) 

 «o + (h + a 2 -\ f- a s — 



N — -— 



il — s — 1 



è un numero intero; perchè il numeratore dà il numero delle condizioni 

 semplici a cui può assoggettarsi un [s] il quale verifichi la (a o , &i , a 2 , ... a s ), 

 mentre il denominatore dà il numero delle condizioni che si impongono ad 

 un [s] di [n] (o di \_n — 1]) quando si vuole che esso seghi una retta data 

 in \_if\ (risp. passi per un punto dato in \n — 1]). 

 si ritengono scelti come al § 1. 



« 4.' Introduciamo alcuni vocaboli per chiarezza di esposizione. Diremo 

 s specie della <p n (a ) , e chiameremo peso della q> il numero 



intero 



. . , , s (s + 1) 

 a 0 . + «i + a 2 -\ f- a s 



N= " 



n — s — 1 



« Una prima proprietà della q> è la seguente : 



« La funzione <f ! n {a 0 , ai, a», — a s ), quando il peso è inferiore 

 od uguale alla specie s, è nulla per tutti i valori di a 0 di- 

 versi da zer . ! . . dimostrarla rammentiamo che il problema del § 3, 



