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che ha (f „(a 0 , a. \ , a 2 , ••• « s ) soluzioni, è determinato ; sarà quindi provato che 

 esso non ammette soluzioni in generale, quando l'esistenza di una soluzione 

 porti con sè l'esistenza di infinite soluzioni. Il peso di q n sia N ^ s , ed a a 

 non sia nullo; esista poi un [s], il quale verifichi la condizione (a 0 , a x , a 2 , ... a s )\ 

 e seghi N rette di \_iì]. Per questo [f\ e per un punto di \_a a ~] conduciamo 

 un [s-(-l]'j il quale segherà [a 0 ], [«], \_o-i~] •■• rispettivamente in una retta, 

 in un piano, in un [3] ... ; questo [s -f- 1] giacerà in QzJ e segherà le N rette 

 in N punti. Ora poiché N = s , per questi N punti passano infiniti [s] gia- 

 centi in [s-j-1] e soddisfacenti perciò alla (a 0 , «1 , CI2 -, ... tts 



) ; ciascuno di 



questi [s] costituisce una soluzione del problema, il quale adunque ammette 

 infinite soluzioni, se ne ammette una. 



« 5. Stabiliamo alcune relazioni alle quali soddisfa la g>. 



« Anzitutto si ha 



A) <p n (a 0 , , « 2 , ... a s ) — (p n+1 (0, a 0 + 1, «1 + 1, «2 + 1, ». a s + 1) ; 

 perchè le soluzioni del problema relativo al secondo membro si ottengono 

 proiettando da un punto esterno ad [vi] le soluzioni del problema relativo al 

 primo membro. Chiameremo A l'operazione (eseguibile sopra ogni q>) colla 

 quale dal primo membro si passa al secondo. A' l'operazione inversa ; l'ope- 

 razione A non altera il peso, ma aumenta di una unità la specie. 



« Un'altra uguaglianza tra le 9) è la seguente che discende subito dalla 

 relazione fondamentale del § 2 : 



<fa s (tto, ct\, «2, ... «*) 

 B) _ f <Pa s (l, «o+l, «i+l, - « s -i+l) + fa s (0, «0 + 2, a x + 1, ... a s -! + 1 ) 

 ^+?« s (0, «i+l, «i+2, ... « s -i+l) -j \-(p (ls (0,fl!o+l, «i+l , ... « s _i+2); 



questa vale in ogni caso, purché si attribuisca il valore 0 ad ogni y>a s , la 

 quale non abbia senso (§ 3). Chiameremo B l'operazione colla quale si passa 

 dal primo membro a ciò che diventa il secondo, quando si siano soppressi 

 i termini che per le convenzioni ora fatte devono ritenersi nulli. L'opera- 

 zione B, trasforma la ^ in una somma di y„ s della stessa specie che la 

 primitiva, ma di peso inferiore di una unità. 



« Applicare le operazioni A, A' 0 B ad una somma di <p, vorrà dire 

 applicare rispett. le operazioni A, A', 0 B ai vari termini della somma (quando 

 sia possibile), ed aggiungere i risultati ; la nuova somma sarà evidentemente 

 uguale alla proposta ('). 



« 6. L'operazione B che riduce il calcolo di una <f data al calcolo di più 

 (f di peso inferiore di una unità, applicata un certo numero (finito) di volte, 

 permette di esprimere la <p proposta mediante alcune </>, di cui possiamo 



(!) Facciamo notare perchè ci sarà utile in seguito che al secondo membro della B) 

 può applicarsi l'operazione A', quando s -f- 1 sia il peso del primo membro ; perchè in tal 

 caso il primo termine del secondo membro è nullo (§ 4). 



