— 75 — 



facilmente assegnare i valori. Ma per giungere ad una forinola la quale ci 

 dia il valore di ^«(^ov^ìy #2j>« #s) mediante le a ed n, ci conviene ricor- 

 rere al seguente artifìcio. 



« Dati s -f- 1 numeri interi (elementi) a 0 , a x , « 2 , ••• a s i quali verifichino 

 le condizioni e) (§ 1) formiamo il simbolo 



(1) («0, «1 , «2, - « s ) , 



al quale non attribuiremo per ora nessun significato. Chiameremo prima de- 

 rivata della (1) la somma 



, 9 s ( (a 0 + 1 , , a 2 , ... a s ) -f- («o , «i + 1 , «2 , - tf s ) + 



( -j- («o , «1 , «2 , - « s + 1) , 



nella quale riterremo debbano sopprimersi (come nulli) tutti quei simboli i 

 cui elementi non soddisfanno alle condizioni c). Attribuiamo alla somma di 

 simboli le note proprietà dell'addizione. Di ciascuno dei simboli della (2) 

 formiamo la prima derivata e sommiamo ; otterremo (soppressi tutti quei sim- 

 boli che non soddisfanno alle e) ) una espressione che noi chiameremo seconda 

 derivata della (1) ; e così continuiamo. 



« Ora sui numeri dati in principio « 0 , eh ,. a 2 , ■•• a s facciamo ancora l'ipo- 

 tesi che sia 



h) + + \-as= S(S ~^ 1] +(n-s — l) (s + 1); 



si vede subito che questa ipotesi è compatibile colle c) solo quando 



n — 2 < a s = n ; 

 e che se a s = n — 1, devono sussistere le uguaglianze 



a 0 = n — s — 1 , ài =n — s , a» ■ = n — s -j- 1 , ... a s = n — 1 . 

 Ciò posto vale il teorema, di cui lasciamo al lettore la dimostrazione (da i 

 ad % -f 1) : 



« Se 



(3) (* 0 ,*V, *2 ... b's) 



è un termine della i esima derivata della (1), sussistono le 

 uguaglianz e 



I bs-i+i — n — i-{-l, bs-i+l = n — i , ... b s = n 



ìh) \ 3.+& 1 +& g +-+^= (8 ~ t ' )(a r' +1) + (n-s-l)(s-i+l) 



| ■ & 



per j^- s -{- 1 . 



« In conseguenza la s esima derivata di (1) si compone soltanto di sim- 

 boli tutti identici a 



(n — s — 1 , n — s -f- 1 , n — s -{- 2 , ... n) , 



e la (s— J— 1) esima derivata di (1) si compone di altrettanti simboli identici a 



(n — s , n — s -f- 1 , n — s -f- 2 , ...n) ; 



indichiamo con x il numero di questi simboli, numero che tra poco calcoleremo. 



Kendiconti. 1889, Vol. V, 2° Sem. 10 



\ 



