« 7. La /.esima delibata della (1) si compone di simboli del tipo 

 (3) (b 0 , bì , ... b s -i , n — i + 1 , % — Z -j- 2 , ... 



« Se sopprimiamo in ciascuno di questi gli elementi n — /-f-1, n — i-\-2, ... n, 

 e premettiamo alla parentesi il simbolo (f n -i , otteniamo dei simboli che già 

 conosciamo (precisamente delle (f di specie s — i e di peso s — i -f- 1 per 

 la seconda delle Ai)), e che hanno un valore numerico ben determinato. Ora 

 la somma di q u e s t e (f H -i ottenute dalla /.esima derivata della 

 (1), è uguale a 



<p n (tto , «i , «2 - a s ) ; 

 (si noti che di questa g> n il peso è s -f- 1 per la A)). 



«Per dimostrare questo teorema (che vale per / — 1, 2, ... s) basterà 

 provare che se è vero per la /.esima derivata, è vero anche per la (/-j-1). esima 

 derivata ; ossia che se 



2 (b' 0 , b\ ... b's-i-i , n — i , n — Z + l , ... n) 

 indica la prima derivata della (3), si ha l'uguaglianza 



(f n -i (b 0 , bx , ... b s -i) = 2 (pn-i-i (i/ 0 , b\ , ... b's-i-x) . 



« Distingueremo due casi. 



I. Se ks-i = n — / , l'uguaglianza diventa 



(p n -i (b 0 , bi , ... b s -i) 



_ ( <fn-i-l (b 0 -j- 1 , h , ... ^s-i-i) + SPn-f-1 (#o -}- 1 , ... #s-i-i) + - 



( -f- (fn-i-i (b 0 , bi , ... i s _i_i + 1) ; 



la quale realmente sussiste perchè il secondo membro si ottiene applicando 

 al primo membro l'operazione B e al risultato l'operazione A' (§ 5, nota). 



II. Se b s -i = n — / — 1 , l'uguaglianza si riduce a 



(f n -i (n — s — 1, n — s, ... n — i — 1) = (f n -i-\ {n — s — 1, n — s, ... n — i — 2), 

 la quale è evidente perchè i due membri valgono 1 (per definizione). 

 « Da questo teorema segue, dando ad i il valore s, che (§ 6) 

 (f n (a 0 , , « 2 , ... a s ) = x . (f ns (n — s — 1) = X , 

 perchè evidentemente è (f H - s (n — s- — 1) = 1 . Così il calcolo della (f ìt pro- 

 posta è ridotto alla questione aritmetica di determinare x, cioè quante volte 

 il simbolo 



(n — s ,n — s -(- 1 , n — s -\- 2 , ... ri) 

 si presenta nella (s -\- 1). esima derivata del simbolo 



($0 i &\ j #2 j •■■ Us) • 



* 8. Ora una tal questione aritmetica non differisce dalla seguente, già 

 risolta dal sig. Schubert. 



« Dati s — j— 1 numeri interi « 0 , «i , «2 , ... « s i quali verifichino le con- 

 dizioni c) (§ 1), formiamo il simbolo 



(1') («0 , «1 , «2 , - «s) , 



e chiamiamo prima derivata della (1') la somma 



s 



(2') (a 0 , «1 «fc-i , a* — 1 , c*k+i • - «s) , 



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