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« Ammessa dunque l'esistenza della trasformazione T ne deriva che sulla 

 superficie I che in essa è coniugata alla retta k, fra due coniche situate in 

 piani coniugati nella T intercede una corrispondenza proiettiva ; e l'assieme 

 delle oo 1 proiettività che con ciò si hanno, determina sulla superficie I un'in- 

 voluzione 0, la quale presenta queste proprietà caratteristiche che in essa 

 le linee k, H: e il sistema delle coniche della superficie sono coniugati cia- 

 scuno a se stesso. 



« Viceversa dalla esistenza di una involuzione 0 su la I godente le 

 proprietà ora accennate se ne deduce l'esistenza di corrispondenze quadrati- 

 che fra coppie di piani del fascio che ha per asse la retta multipla k della I; 

 e l'assieme di tali corrispondenze quadratiche costituisce nello spazio la trasfor- 

 mazione involutoria T della specie cercata, la cui determinazione può farsi 

 perciò dipendere da quella della involuzione 0. 



« Di questa dunque vogliamo occuparci. 



« 2. Sulla superficie I vi sono Sn — 7 coniche degeneri le quali si pre- 

 sentano così : la curva fondamentale H della T ha $n — 7 punti sulla k e 

 nella corrispondenza quadratica che intercede fra il piano a del fascio (k) 

 tangente alla H in .uno di questi punti e il suo coniugato uno dei punti 

 fondamentali L, M, N del piano a (per es. il primo) trovasi su la k ; sicché 

 in tale corrispondenza alla retta k corrisponde nel piano a' una conica dege- 

 nere della I costituita dalla retta M'N' coniugata al punto fondamentale L 

 e da una retta /' (uscente dal punto fondamentale L') coniugata alla k, e 

 quindi in questo caso dei punti A, B ove la k sega la conica non degenere 

 C = «I uno di essi: A, coincide col punto L (in modo che la retta AL è 

 la tangente in L alla C) e corrispondentemente dei punti A', B' ove la k 

 sega la conica degenere C = al = {l' — M'N') il primo si trova sulla retta 

 M'N' e l'altro su la V . 



« Ora la relazione che nella involuzione 0 intercede fra due coniche 

 coniugate C, C è la proiettività in cui si corrispondono i gruppi sezione di 

 dette coniche con i due gruppi proiettivi di rette L(MNAB), L'(M'N'B'A'), 

 sicché in questo caso essa è la proiettività che intercede fra la conica C e 

 la retta M'N' determinate dai due gruppi proiettivi (MNAB), (M'N'B\ A'), 

 (B\ è il punto comune alle l\ M'N'), mentre a tutta la retta /' = L'B' 

 ulteriore parte della conica C corrisponde il punto A = L della conica C, 

 il quale perciò risulta fondamentale per la 0. 



« Né oltre questi 3n — 7 punti , .... L 3)1 _ 7 comuni alle linee k, H vi 

 sono altri punti fondamentali per la involuzione 0, giacché per ogni altra 

 coppia di coniche coniugate in essa la proiettività che intercede fra dette 

 linee, non degenera. 



« Vi sono due coniche della superficie I coniugate ciascuna a se stessa 

 nella 0 : quelle dovute ai piani doppii della involuzione che la T determina 

 nel fascio (k) ; e dalla genesi della 0 è agevole riconoscere che una di tali 



