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coniche è punteggiata unita o è semplicemente unita a seconda che l' invo- 

 luzione quadratica che la T determina nel piano in cui essa giace, è di classe 1 

 o di classe 0, ha cioè semplicemente quattro punti uniti o ha una conica 

 punteggiata unita. 



« 3. Le rette li , .... l 3n -n della superficie I, coniugate nella 0 ai punti 

 fondamentali Li , .... (che, come vedemmo, sono i punti comuni alle 



k, H), sono seganti semplici della curva H, sicché esse risultano a due a due 

 fra loro sghembe. 



« Ora due casi sono possibili : o esse appartengono ad uno stesso gruppo, vi 

 è cioè sulla superficie I una curva y. n - z appoggiata in n — 4 punti alla k, 

 che non incontra alcuna di esse; o non appartengono allo stesso gruppo, cioè 

 la curva y n - 3 della I che si appoggia alla k in n — 4 punti e non incontra 

 le 4 , ••• hn-i , si appoggia invece alla l x , sicché le l 2 , .... l 3n - n formano gruppo 

 con la retta l\ della I, appoggiata alla l x , la quale è corda della H ('). 



« Eappresentando in ciascuno di questi due casi la superficie I su di 

 un piano &> in modo che le rette l del grappo considerato e la corrispon- 

 dente curva y n -3 abbiano per immagini rispettive i punti fondamentali sem- 

 plici P! , .... P 3)i _ 7 e il punto multiplo 0 della rappresentazione, si avrà che 

 nel primo caso l'immagine della curva H sarà una C m =O m-3 Pi .... P 3 „_ 7 , ove 

 m (n — 1) — (m — 3) (n — 3) — (Sii — 7) = Sn — 4 



ove cioè 



Sn — 2 

 m = — — 



e quindi n risulterà pari, mentre nel secondo caso la curva H avrà per im- 

 magine una G m = O m - 2 Pi 2 P 2 .... P 3 „_ 7 , ove 



m (n — 1) — (m — 3) (n — 3) — 2 — (Sn — S) = Sn — 4 



ove cioè 



Sn — 1 

 m = — — 



e quindi n risulterà dispari; nè essendo possibili altri casi, si ha viceversa 

 che per n pari si verifica il primo e per n dispari il secondo. 



« 4. Nella rappresentazione ora data della superficie I la involuzione 0 

 che si ha su tale superficie, viene ad avere per immagine un' involuzione &', 

 la quale in entrambi i casi che si sono distinti di n pari o dispari, gode la 

 proprietà che in essa sono a due a due coniugate le rette del fascio (0) e 

 sono coniugate a se stesse le curve immagini delle k, H. 



« Per n pari, questa involuzione 0 del piano rappresentativo co è un'omo- 

 logia armonica. 



«Infatti alle coppie di elementi ^ L l5 ? 3n _ 7 L 3M _ 7 della I coniugati 

 nella 0 corrispondono in w coppie di punti P x P\ , .... , P 3n _ 7 P' 3 «- 7 



(!) V. Noether. Mem. cit. 



