« Si è dunque costruita la T nel caso di n pari. 



« 5. Per n dispari, la involuzione 0' immagine su co della 0 è quadratica. 



« Infatti se è 1 la conica (passante per Lj) della superficie I coniugata 

 nella ©alla retta l\ che con le / 2 , .... / 3 „_ 7 : forma il gruppo che ha per 

 immagine il gruppo dei punti fondamentali semplici P! , .... P 3)ì _ 7 della I su co, 

 alle coppie U\ , ^L^ l z L 2 , Z 3ji _ 7 L 3;i _ 7 coniugate nella 0 corrispondono 

 sul piano « le coppie {p x = OP\ -PO, (p,= OF, — P'O, P 2 P' 2 , P 3 „_ 7 P' 3 .«-7 

 coniugate nella 0', avendo indicato, come prima, con P\ .... P' 3il _ 7 le imma- 

 gini dei punti 1^ , .... L 3)l _ 7 , i punti cioè comuni ulteriormente alle curve 



3n— 7 



C„_ 2 = 0"- 4 P, .... P 3 „_ 7 , Gsn-i = 0 2 P, 2 P 2 .... P 3)1 _ 7 immagini delle k, H, 



2 



curve che la 0' muta ciascuna in se stessa. 



« Dunque nella 0' due rette del fascio (0) coniugate in essa si corri- 

 spondono con una corrispondenza proiettiva, la quale degenera semplicemente 

 per la coppia costituita dalle rette p 1 = OT\, jfx^OY^ , le quali nella 0' 

 risultano coniugate per intero ai punti P t , P\ rispettivamente. 



« La &' perciò è quadratica : 0, Pi , P\ ne sono i punti fondamentali. 

 Due casi sono possibili : 



1°) La 0' ammette due rette punteggiate unite u, v ; essa cioè è co- 

 stituita da coppie di punti allineati col punto Pi e separati armonicamente 

 dalle u, v, in modo che i punti infinitamente vicini ad 0 risultano a due a 

 due fra loro coniugati in essa ; e infinitamente prossimo ad 0 trovasi il terzo 

 punto fondamentale P^. 



3n—7 



« La curva C 3 „_i = 0 2 Pi 2 P\ immagine della curva H, dovendo in 



2 



tale caso essere incontrata da ogni raggio del fascio (Pi) oltre che in j? 4 in 

 coppie di punti coniugati nella 0', il suo ordine — - — risulta pari. Vi- 

 ceversa verificata questa condizione, si può agevolmente risalire dalla & 

 alla 0 con lo stesso metodo del caso precedente, essendo possibile costruire 



3n— 7 



due curve C n - 2 = O n - 4 'P l ~P' 1 , C 3 »_i = 0 2 Pi 2 P'i coniugate a se stesse in 



2 



un' involuzione quadratica & avente per punti fondamentali i punti 0,P\, P! 

 (i primi due infinitamente vicini fra di loro) ('). E la trasformazione T a 

 cui si arriva in questo caso, risulta dotata di due coniche punteggiate unite. 



( J ) Un fascio (y/) coniugato a sè stesso nell'involuzione ©' della specie accennata 

 contiene una curva unita non degenere se la differenza fra il suo ordine m e l'ordine di 

 moltijdicità h del punto Pi per le sue curve è pari, giacché allora la curva degenere del 

 fascio che contiene una retta punteggiata unita della &' contiene anche l'altra, non potendo 

 ulteriormente contenere una curva y m _ 1 = P,' 1 , (non degenere) essendo dispari la differenza 

 m — 1 — h e dovendo tale curva y m — L risultare coniugata a sè stessa nella 



Da ciò dipende la possibilità della costruzione su accennata. 



