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trasformazioni involutorie dello spazio: dalle trasformazioni in cui ai piani 

 dello spazio corrispondono superfìcie di ordine 2n-\-l dotate di una curva 

 «-pia di 4° ordine e di genere 1. 



« Di tali trasformazioni involutorie mi occuperò in ima prossima Nota » . 



Matematica. — Numero delle involuzioni razionali giacenti 

 sopra una curva di dato genere. Nota di Guido Castelnuovo, pre- 

 sentata dal Corrispondente E. D'Ovidio. 



« È noto ( l ) che sopra una curva di genere p con moduli generali esi- 

 stono delle serie g m iqì (involuzioni razionali di oo? gruppi di m punti) in nu- 

 mero finito, quando sia 



(1) m — q = {p — m -f- QÌQ ; 



quante sono queste g m iq) ? A tale domanda, che si presenta spontanea ai cul- 

 tori della geometria sulle curve, non fu risposto finora che in alcuni casi 

 molto particolari. 



« Noi ci proponiamo di risolvere il problema in tutta la sua generalità 

 approfittando del seguente concetto di geometria enumerativa, che ci servì in 

 altra occasione ( 2 ) : il numero (supposto finito) degli [r] (spazi ad r di- 

 mensioni) che segano in e punti una curva G p n (di ordine n e ge- 

 nere p) appartenente ad un [s], non muta, o diventa infinito, 

 quando alla curva data si sostituisca l' insieme di più curve, 

 purché l'ordine ed il genere della curva composta siano an- 

 cora risp. n e p ( 3 ). Noi useremo soltanto curve costituite da una curva 



(!) V. Brill e Nother, Ueber die algebraischen Functionen, § 9 (Math. Ann. 7). 



( 2 ) V. la nota: Una applicazione della geometria enumerativa (Rend. del Circolo mat. 

 di Palermo, t. III). Dobbiamo riconoscere che nello stabilire questo concetto ci fondiamo 

 più sulla intuizione (e su varie verificazioni), che sopra un vero ragionamento matematico. 

 Alla dimostrazione si potrà forse arrivare considerando la curva in uno spazio superiore 

 come intersezione parziale di più varietà e trattando algebricamente il problema degli spazi 

 secanti; si troverebbe che il numero delle soluzioni è indipendente dalla posizione parti- 

 colare delle varietà. Ma un ragionamento di tal natura non potrà farsi che quando la teoria 

 delle curve negli spazi superiori sarà più completa. Ci permettiamo però di approfittare di 

 un principio non ancora dimostrato per risolvere un difficile problema, perchè crediamo 

 che anche con simili tentativi si possa giovare alla scienza, quando si dichiari esplicita- 

 mente ciò che si ammette e ciò che si dimostra. 



( 3 ) Vale a dire che se ni , n 2 , . . . . %t ; pi , fi , . ■ . pt sono gli ordini ed i generi delle t 

 curve componenti (così disposte che si possa passare da un punto di una delle curve ad un 

 punto di un'altra qualunque, percorrendo le curve ed attraversando punti di intersezione) si 

 deve avere 



n ■= tii + m + . . . + n t , 

 P=Pi J rP! J r---+Pt~(t — l) + i, 

 dove i è il numero totale di intersezioni delle curve a due a due. 



