semplice con più corde, e precisamente in luogo di una curva di genere p, 

 considereremo una curva razionale insieme a p delle sue corde. 



« 1. Partiremo dal seguente teorema che abbiamo dimostrato rigoro- 

 samente per curve semplici (') : 



« Sopra la curva G p n normale per lo spazio [r] una serie 

 g m (q \ i cui gruppi giacciano in spazi ha per residua una 

 serie ^ r -m _1) i cui gruppi stanno in spazi [r — q — 1]; i gruppi 

 della g m ( v sono adunque determinati da spazi [r — 1] passanti per uno (fra 

 oo r ~?- i ) spazio [r — q — 1] segante la curva in n — m punti. In particolare 

 se m = r = q -f- 1 , abbiamo : 



« Se la curva norma le G p n d i \_m~] è segata in n — m punti 

 da un numero finito di \_m — q — 1], questo numero uguaglia 

 il. numero delle serie g m ^ che giacciono sulla curva. 



« Ora il problema di trovare un [m — q — 1] il quale sechi una curva 

 di [m] in n — m punti, è determinato (in generale) se 



« Questa uguaglianza è compatibile colla (1) (e coincide con essa) solo 

 quando p = n — m. E d'altra parte si sa sempre costruire una curva nor- 

 male (non speciale) di [m] avente il genere p e l'ordine n — m-\-p. 



« Concludiamo adunque che: 



« Se sussiste la (1), il numero degli spazi [m — q — 1] che 

 segano in p punti la G m m+P normale di \jn} è (in generale) finito, 

 ed uguaglia il numero delle g m lq) giacenti sopra una curva di 

 genere p. 



« E così il nostro problema è ridotto a calcolare il numero di spazi 

 \_m — q — 1] che segano in p punti una G p m+ P di [m~\. 



« 2. La G p m+P si scinda in una curva razionale G 0 m appartenente ad 

 [w] ed in p delle sue corde scelte ad arbitrio. 



« Se indichiamo con Nj il numero degli spazi [m — q — 1] che segano 

 C 0 m in i punti ed inoltre attraversano p — i corde assegnate della curva (nu- 

 mero in generale finito), la somma 



darà (per il principio enunciato nella introduzione) il numero richiesto degli 

 spazi [m — q — I] che segano in p punti la G p m+p . Ora se i è diverso da 

 zero, Ni è nullo in generale. Infatti se esistesse uno spazio [m — q — 1] 



(*) V. Ricerche di geometria sulle curve algebriche, § 13 (Atti dell'Acc. di Torino, 

 voi. XXIV). 



( 2 ) Più generalmente gli spazi [p] che segano in a punti una linea di \j>i] formano 

 un sistema oo T , essendo 



(2) 



m — q = (n — 2m -f- q)q ( 2 ). 



r = q -f- 1 — (ff — Q — ì)(m Q — 1). 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 2° Sem. 



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