secante C 0 m in i punti ed inoltre p — i corde, sulla curva esisterebbe una 

 involuzione razionale g { $_t avente p — i coppie neutre (vale a dire coppie di 

 punti tali che ogni gruppo dell'involuzione il quale contenga un elemento della 

 coppia, contiene la coppia) : gli spazi [m — 1] determinati dai gruppi della 

 involuzione e da i punti scelti ad arbitrio su C 0 m , dovrebbero passar tutti per 

 un nuovo spazio [m — q — - 1] , il quale segherebbe C 0 m in i punti ed inoltre 

 attraverserebbe le p — i corde ; e quindi finalmente tali spazi [m — q — 1] 

 sarebbero non già in numero finito, ma oo*. 



« Da ciò segue che il numero richiesto è N 0 ; ossia 



"Se è soddisfatta la (1), il numero delle serie gj^ esi- 

 stenti sopra una curva di genere p uguaglia il numero degli 

 spazi \jm — q — 1] che segano p rette di \jn\. 



n 3. Ora quest'ultimo numero fu già determinato se per semplicità 



poniamo 



(3) ^_i_ (m _^) = Q 

 (ossia m — p ■ — 1 — (Q — q) ) , 



e quindi per la (1) 



(4) P= (Vy+1) (Q + l), 

 si trova che il numero di cui si parla è dato da 



l!2!3!...g!l !2!3!...Q!jo! . 

 1!2!3!...(? + Q + 1)! ' 



dunque alla fine: 



« Quando, fatta la posizione (3), si verifica la (4), il nu- 

 mero delie involuzioni razionali d'ordine me molteplicità q 

 giacenti sopra una curva di genere p è finito, ed è dato da 



1 ! 2 ! 3 ! ... q ! 1 ! 2 ! 3 ! ... Q ! p ! 

 l!2!3!...(r/ + Q+l)! ( " ) - 

 « Si noti che questo numero non muta scambiando q e Q ; poiché con 

 questo scambio m si muta in 



M =p — 1 — (q — Q).= 2p — 2 — m, 

 conchiudiamo che sulla curva di genere p sono tante le serie g m (q) quante 

 le g M lQ) ; ciò del resto si poteva prevedere, perchè per il teorema di Riemann- 

 Roch ad ogni serie g m iq1 corrisponde una serie (y M (Q \ e reciprocamente. 



« 4. Fra le quantità m , q , Q , p passino ancora le relazioni (3) , (4), 

 ed N indichi il numero considerato nell'ultimo teorema. 



« Dal procedimento seguito derivano vari significati di N. 



( x ) V. la nostra nota: Numero degli spazi che segano più rette in uno spazio ad 

 n dimensioni, § 10 (Rend. Acc. dei Lincei, agosto 1889). 



( 2 ) Per Q = 0 si trova un risultato notissimo; per $'=1 si giunge aduna formola 

 data nel citato lavoro di Brill e Nother, 



