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Quanto ad X\ è chiaro che, dovendo rimanere perpendicolare a tutte le plu- 

 rinormali, non può uscire dal piano osculatore l'angolo di cui 



ruota verso x n - Si ha 



ft3 ttl = f l ) w 21 = w 31 = ••" ' «n-1,1 — 0, 



W ln = f ! , w 12 == w 13 = •••• = ~ 0. 



Ed ora siano , « n _ 2 , ... , s % gli angoli di cui ruotano x% , x 3 , ... , x n - x verso 

 x 3 , x 4 , ... ,x n , rispettivamente, dimodoché 



== == f n— i+l • 



Il sistema rigido individuato dalle n rette principali subisce dunque, nel pas- 

 saggio dell'origine da M ad M r , oltre alla traslazione ds lungo x x , la rota- 

 zione definita dagli angoli « testé determinati. Quando il punto (x x , x 2 , — , x„), 

 invece di essere invariabilmente legato alle n rette, subisce rispetto ad esse 

 lo spostamento (dx x , dx 2 , ... , dx n ), le componenti del suo spostamento asso- 

 luto nello spazio sono, in virtù delle formole dimostrate in principio e degli 

 ultimi risultati ottenuti, 



Sxi = dx\ — fi x n -j- ds , 



(^<3?2 — fZ^?2 ^n—l X 3 , 



= dxi -j- f n _i-j-2 t^i_i * n _i + i i^i-i-i , (j == 3, 4, .... , 7? — 1) 



ÓXyi~~~ dXti ~j— fi X\ £2 Xn— 1 • 



Introdotti poi i raggi di curvatura, definiti dalle relazioni 



Qi fi = ?2*2= ■ = = , 



si ottengono finalmente le formole 



àxi 



dxi 





X n Q\ 



ds 



ds 





. 5 



Q 



àx 2 







x 3 



ds 



ds 





Qn—l 



à'Xj 

 ds 



dxi 

 ds 



+ 



X%—\ Xi+i 

 Qn—i+Z Qn—i-t-l 



$ OCyi 



ds 



ds 



+ 



X i i Xn — i 



(*=M,...,w— 1) 



fondamentali per l'analisi intrinseca delle curve. 



« È ovvio che alle coordinate d'un punto si possono sostituire i coseni 

 «! , a 2 , ... , a n d'una direzione, purché si prescinda dal moto di traslazione, 

 e quindi si trascuri il ds nella prima forinola. Adunque si ha 

 6^ dai a i+1 



ds ds Qn—i+2 Qn—i+1 



per ogni valore di i, purché si convenga di fare 



1 



i ? Qi+n — Qi ■> — 0 • 



