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E le formole sussistono anche quando si considerano, invece delle a, le proie- 

 zioni d'un segmento variabile qualunque sugli assi mobili. Infatti 



ópcti = ^ dj) -\-pdcci = dpcti -f- I P ttl ~ l P a *+i \ fa _ 



Di queste formole passo a dar subito una interessante applicazione. 



<i Nella Memoria « Sul moto d'un filo flessibile ed inestendibile » ( z ) 

 il prof. Maggi ha studiato le oscillazioni d'un filo che si scosta pochissimo 

 dalla sua posizione di equilibrio, ed ha messo a base del suo studio certe 

 formole generali, la cui dimostrazione è stata poi resa più semplice dal 

 prof. Padova mercè l'uso del principio delle velocità virtuali ( 2 ). Or mi pro- 

 pongo di far vedere che si possono stabilire le equazioni stesse senza ricor- 

 rere menomamente a sistemi estrinseci di coordinate, e cercherò di pervenire 

 a formole più generali prendendo a considerare un filo pienamente deforma- 

 bile in uno spazio lineare ad n dimensioni. Assumo come assi in un punto M 

 del filo, la tangente, la (n — l)-normale, ... , la normale principale. Sia qds 

 la massa dell'elemento ds, e si indichi con X ; la componente della forza 

 acceleratrice secondo l'asse Sia Ui la proiezione dello spostamento di M 

 sullo stesso asse. I coseni direttori dell'elemento di filo, dopo la deformazione, 

 sono evidentemente proporzionali a 



ds -f- Sui , àu 2 , Ju 3 , .., , d u n , 

 e però, chiamando T la tensione per unità di lunghezza, si avrà, per l'equi- 



librio con le forze esterne 



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avendo cura di aggiungere Tds a Tóut quando i = 1 . Intanto 



d(r— ^ =d ^T — ^ + T ' ; ' "" T<> "'" 



Qn—i+2 Qn—i+l 



e le condizioni per l'equilibrio diventano, in generale, 



cX-4-—(t ~\4*. < T Suì ~ l — T Sui+l — 0 

 ds \ ds ! 



Finalmente, dopo totale eliminazione del segno ó, 



ryX ì - + #rT(^ + J ^ — V 



dS]_ \dS ' 



+ 



dui-i T duu 



h2 ds Q n -i + i ds 

 + Tui ~ 2 ^ (-^ — + — ) = 0 . 



Qn—i+3 Qn—i-¥ì Qn—i+iQn—i \Q n—i+% Q n—i+l / 



Così, per z' = l,2,3,...,/j, tenendo presenti tutte le convenzioni fatte, si 



(') Giornale di matematiche (1881), e Rendiconti del E. Istituto Lombardo (1886). 

 ( 2 ) Giornale di matematiche (1885). 



