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« Riserbandomi di ritornare più tardi su questo argomento non mi sem- 

 brano inutili, per ora, alcune osservazioni sul teorema del Riemann circa la 

 costanza del numero massimo delle linee chiuse, non formanti contorno, che 

 si possono condurre in una superficie. 



« Per la dimostrazione di questo teorema il Riemann ammette il seguente 

 lemma (') : 



« Se in una superfìcie F due sistemi di curve a e b presi insieme limi- 

 li tano completamente una porzione di superficie, ogni altro sistema di curve 

 « che insieme ad a limiti completamente una parte di F, anche con b formerà 

 . « l'intiero contorno di una porzione di superficie la quale è composta, dalle 

 « due primitive porzioni di superficie che si connettono lungo a, mediante 

 « addizione, o sottrazione, secondo che le primitive porzioni di superficie sono 

 « poste da parti opposte o dalla medesima parte di a » . 



» Il Betti che ha felicemente tentato una estensione, per gli spazi di m 

 dimensioni, dei concetti del Riemann, ammette pure il lemma precedente- 

 mente enunciato e se ne vale, nello stesso modo del Riemann, per la dimo- 

 strazione, che qui sarà trascritta per maggiore chiarezza ; benché per la sua 

 semplicità ed importanza possa ritenersi da tutti conosciuta ( 2 ). 



« Se t spazi chiusi di m dimensioni A x , A 2 , . . . A ( , non possono for- 

 ti mare soli, e con ogni altro spazio chiuso di m dimensioni formano il con- 

 fi torno di uno spazio linearmente connesso di m -j- 1 dimensioni tutto quanto 

 » contenuto in R ; e se un altro sistema di t' spazi chiusi di m dimensioni 

 «Bl B 2 , . . . B t r . gode della stessa proprietà, sarà 



n Infatti supponiamo t' ^>t , se C è uno spazio qualunque di m dimen- 

 ìi sioni, tanto il sistema (Ai , A 2 , ... k t , C) quanto il sistema (A! , A 2 , ... k u BJ 

 n formerà il contorno di uno spazio linearmente connesso di m -j- 1 dimensioni 

 « tutto contenuto in R; e in conseguenza, per il lemma precedente, il sistema 

 « (A 2 , A 3 , . .. A t , G) insieme col sistema (A 2 , A 3 , . . . A { , B x ), cioè il sistema 

 « (Bj , A 2 , . . . A { , C), formerà il contorno di uno spazio di m -f- 1 dimensioni 

 « tutto contenuto in R. Così il sistema (B! , A 2 , A 3 , ... A t ) unito con uno spazio 

 n qualunque C forma il contorno di uno spazio linearmente connesso di m -f- 1 

 « dimensioni ; e ora seguitando, sostituiremo successivamente a uno degli spazi 

 « A, uno degli spazi B, e avremo finalmente che il sistema (B! , B 2 , ... B £ ) for- 

 « merà con uno spazio qualunque chiuso, e quindi anche von B t+1 , il contorno 

 « di uno spazio di m -j- 1 dimensioni linearmente connesso contenuto tutto in R ; 

 « e questo è in contraddizione con ciò che abbiamo supposto se i ">> t. Ugual- 

 « mente si dimostra che non può essere t ^> ( . Dunque t = t' come volevamo 

 « dimostrare » . 



« A questa dimostrazione però (che racchiude quella data dal Riemann) 

 si possono muovere alcune obiezioni. 



(*) Satze aus der Analysis Sytus. Creile 54. 



( 2 ) Annali di matematica. Anno 1870, serie 2 a , t. IV, p. 140. 



