— 231 — 



« Anzitutto è stato avvertito dal Tonelli (') che il lemma del Riemann 

 e del Betti non si può ritenere vero in generale; il Tonelli anzi ha avvalorato il 

 suo ragionamento con esempi di superfici per le quali non era applicabile il 

 lemma enunciato dal Eiemann, ed ha in modo molto ingegnoso dimostrato 

 che il lemma vale certamente ed in tutti i casi quando si intenda, che lo 

 spazio che risulta limitato dagli spazi (b) e (<?), che con (a) rispettivamente 

 formano contorno, possa anche non essere linearmente connesso, ma formato 

 da più pezzi linearmente connessi; e quando si richiegga che tutti gli spazi (a) 

 siano necessari tanto insieme a (b), quanto insieme a (c), per formare contorno. 



« Da questo ne consegue che la dimostrazione del Riemann non può ri- 

 tenersi come rigorosa. 



« Infatti: o tutti gli spazi A x , A 2 . . . A ( sono veramente necessari in- 

 sieme a B! per formare contorno, ed allora, siccome B x è uno qualunque degli 

 spazi (B x , B 2 , . . . B f f), anche insieme a B 2 saranno tutti necessari per for- 

 mare contorno; e quindi, pel lemma, Bi , B 2 formeranno insieme contorno, 

 contro l'ipotesi posta sugli spazi (B). 



« 0 solamente alcuni degli spazi A l5 A 2 , . . . A t sono necessari a formare 

 contorno con Bi , ed allora, chiamando A t precisamente uno di quelli non 

 necessari, A 2 , A 3 , . . . A ( B formerebbero già da soli contorno e non si potrebbe 

 applicare il lemma. 



« Si osservi inoltre che nel teorema del Riemann o del Betti, C è uno 

 spazio chiuso arbitrario del quale sappiamo solamente che, o da solo o col- 

 l' aiuto di alcuni o di tutti gli spazi del sistema considerato, deve formare 

 contorno ; e quindi non potremo mai dire quali sieno gli spazi tutti necessari 

 insieme a C per formare contorno, senza togliere a C l'arbitrarietà voluta 

 dall'enunciato. Ne segue che se fra i tre sistemi (a) , (b) , (c) del lemma del 

 Tonelli, imo comprende lo spazio C, il lemma stesso non potrà rigorosa- 

 mente applicarsi. 



« Per questa ragione non mi pare al tutto soddisfacente la dimostra- 

 zione che il Tonelli ha cercata pel teorema del Betti. 



« La dimostrazione del Tonelli (Mem. citata pag. 8-9) è fondata sullo 

 stesso principio della dimostrazione del Riemann, di sostituire cioè al sistema 

 (A,, A 2 , ... A ( ), successivi sistemi ove gli spazi B l5 B 2 , ... B { entrano succes- 

 sivamente al posto degli spazi (A). 



« Egli perciò si studia di determinare uno spazio B s tale, che il sistema 

 (B s , A 2 , ... At) da solo non formi contorno, ed il sistema (B s , A 2 , ... A t C) 

 formi contorno ; ma non si potrà dire con questo che il sistema (B s , A 2 , ... A,) 

 sia sostituibile al sistema (Ai ... A t ), perchè lo spazio chiuso C del sistema 

 (B s , A 2 , ... A t , C) non è qualunque spazio chiuso non appartenente al sistema 

 (A), ma è imo spazio scelto ad arbitrio e poi fissato per modo che, in di- 

 pendenza di questa scelta, è stato poi determinato lo spazio B s . 



(!) Atti Acc. Lincei, t. II, serie 2 a . 



