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« E che veramente sia a questo modo appare anche manifesto dal fatto 

 che a p. 9, il Tonelli dice : 



« Se C (A\)(A' 2 ) ; B s (A'i) (A") , sono rispettivamente contorno di spazi, 

 « anche CB S (A' 2 ) (A' f ) formano contorno » . Il che non si potrebbe certamente 

 concludere se non si sapesse che gli spazi (A',) (A' 2 ) sono veramente tutti 

 necessari insieme a C per formare contorno. 



« Infine mi sembra inutile fermarmi a considerare che queste difficoltà, 

 che si presentano nella prima sostituzione di uno spazio (A), si aumentano 

 nel seguito della dimostrazione, perchè si potrebbe giungere ad uno spazio B r 

 che forma contorno con un certo gruppo di spazi (A) che sono tutti stati 

 diggià sostituiti. Infatti: B,- deve formare contorno coli' aiuto del sistema 

 (A! , A 2 , ... A { ) ; ma non sappiamo se lo formi coll'aiuto dei sistemi che man 

 mano si formano con successive sostituzioni. 



« Queste considerazioni valendo per gli spazi a 2, come per quelli ad 

 un maggior numero di dimensioni; esporrò qui una dimostrazione assai sem- 

 plice del teorema pel caso degli spazi a due dimensioni, intendendosi che la 

 stessa dimostrazione ha luogo qualunque sia il numero di dimensioni. 



« Teorema. Se in una superficie S, si possono condurre n 

 linee semplicemente chiuse 



(A) Ai , A 2 , ... A rt 



le quali siano tali che, nè ciascuna da sola, nè insieme prese, 

 bastano a formare l'intiero contorno di una porzione deter- 

 minata di S; ma che qualunque altra linea semplicemente 

 chiusa C, descritta sulla superficie, o da sola, o coll'aiuto 

 di alcune, o di tutte le (A), basti a formare contorno di una 

 porzione di superficie: 



se esiste un secondo sistema di m linee 



(B) B! , B 2 ... B m , 



le quali godano di proprietà simili a quelle del sistema (A), 

 dico che è m = «, in modo che il numero n è costante per la 

 superficie considerata. 



« Dal lemma del Tonelli ne deriva intanto cbe : Se indichiamo con 

 (a), (b), (c) tre sistemi di linee prese fra le linee (A) e le linee 

 (B); se tutte le linee {a) sono necessarie e sufficienti, tanto 

 prese insieme alle (b), quanto insieme alle (e), per formare 

 intiero contorno di porzioni della superficie S; allora i si- 

 stemi (b) e (c) . presi insieme, faranno contorno di una o più 

 porzioni di S. 



« Ciò posto la dimostrazione può farsi nel seguente modo : 

 « Per l' ipotesi posta sul sistema (A), la linea B! formerà contorno con 

 un carto gruppo 



(1) A M , A 1)2 , Ai,r, di linee (A) 



