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mentre le a risultano dalle sei equazioni di primo grado 



ìli ^77 D 77 D/7 _ Q 



"TWll "3«22 ~3#33 ' "3«23 ì)«31 D«12 



Suppongasi che il corpo, soggetto alla sola gravità, sia tenuto in equilibrio 

 mediante forze applicate verticalmente a punti d'un piano orizzontale. Posta 

 l'origine nel centro di gravità, e diretto l'asse Xi in senso opposto a quello 

 della gravità, sia x 1 — h l'equazione del piano di sostegno. Si osservi che, 

 per l'equilibrio delle forze esterne, dev'essere 



J X t - dS -j- / (fi ds — 0 , ccij — aji . 

 Nel caso attuale, se p è il peso specifico del corpo che si considera, 



Ti — —p , X 3 — X 3 = (p 2 =(p 3 = Ó, 

 e le condizioni per l'equilibrio esterno diventano 



f (p 1 ds — P , f (fi Xt ds — 0 , J (fi x 3 ds — 0 , 

 essendo P il peso totale. Quindi si ha 



a n = li? , a ì2 = «33 — « 2 3 = « 31 = a 12 == 0' , 



e però 



f 0dS = — a u liP . 

 Adunque, per una data orientazione, la variazione di volume è proporzionale 

 al peso del corpo ed alla distanza del suo centro di gravità dal piano di 

 sostegno. Per esempio le variazioni di volume d'una sfera omogenea ed iso- 

 tropa, sospesa ad un filo rigido o sostenuta da un piano resistente, sono eguali 

 e di senso contrario, e proporzionali alla quarta potenza del raggio. Si osservi 

 poi, nel caso generale d'un piano che divide il corpo in due parti, che la 

 variazione totale del volume è la somma delle variazioni delle parti stesse, 

 come se queste fossero tra loro indipendenti. Se il piano di sostegno contiene 

 il centro di gravità, la parte superiore diminuisce o aumenta di quanto 

 aumenta o diminuisce la parte inferiore, dimodoché resta invariato il volume 

 totale. Finalmente si noti che, quando il corpo, pur non essendo isotropo, è 

 dotato di tre piani ortogonali di simmetria, la sua dilatazione non dipende 

 dalla elasticità tangenziale o di rigidità, ma soltanto dalla elasticità laterale 

 e dalla diretta. 



« Il calcolo precedente sussiste tal quale in uno spazio lineare qualunque, 

 ad n dimensioni. Per vedere quale forma assume IT in un tale spazio, nel 

 caso della perfetta isotropia, imprimiamo al sistema degli assi la rotazione 

 infinitesima 



1 



«12 



«13 • • 



• «in 



«21 



1 



«23 • • 



• w 2n 



(O nì 



«n2 



«tt3 • 



.. 1 



intorno all'origine, essendo «y -j- «$ = 0. È facile accertarsi che l'espressione 



2 $ìj (%ì ce j 



\ 



