— 262 — 



Così il pentaedroido quadruplo regolare e la sfera a quattro dimensioni ad 

 esso circoscritta subiscono le dilatazioni 



pa 5 -f/2 n 2 pa 5 -//IO 



192 (2A — 3B) ' 125 (2A — 3B) ' 



« Più generalmente si ha sempre, nel caso dell' isotropia, 

 [nk — 2 (h — 1) B] J QdS == X C/Xi m d% + / ^ <&] , 

 ovvero, rappresentando semplicemente con X e y le componenti radiali 

 delle forze, 



[«A — 2 — 1) B]J~0dS =/ XrdS + / yrds . 

 Suppongasi, per esempio, che forze centrali, componentisi nell'attrazione unica 



P = — /Xcos OdS, 



diretta verso il centro d'azione, agiscano sopra un corpo isotropo, e siano equi- 

 librate radialmente in punti d'una sfera. Questa passi pel centro d'azione, ori- 

 gine delle coordinate, sia ortogonale alla direzione di .P , ed abbia il dia- 

 metro R . Evidentemente, per l'equilibrio esterno, 



, J (f rds = R / (p cos 6ds = PR . 



Dunque, rappresentando con u la parte di raggio vettore emergente dalla 

 sfera di sostegno, 



[nk — 2 (n — 1) B] / GdS = JXudS . 

 Per applicare questa forinola al caso della gravità si faccia retrocedere l'ori- 

 gine all' infinito, mantenendo Asso il punto diametralmente opposto sulla sfera. 

 Quando il corpo si tenga immobile, le distanze u si serbano finite, e se h 

 indica il valore di u pel centro di gravità, supposto interno alla sfera, le 

 uguaglianze 



JX«dS = — hfXdS , P = — JXdS 



tendono a diventare esatte quando R oltrepassa ogni limite. Si ritrova così 

 il risultato ottenuto precedentemente. 



« Analogamente si procede in un sistema qualsiasi di coordinate curvi- 

 linee ortogonali. Che il teorema di Betti continui a sussistere è stato recen- 

 temente osservato dal dott. Somigliana negli Annali di Matematica, ed era 

 già stato avvertito dal prof. Padova nella Memoria citata (Marzo, 1888) e 

 contemporaneamente dall'autore del presente scritto Indichi i,j , fc una 

 disposizione qualunque degli indici 1, 2, 3. Se le note equazioni 



(*) Lezioni sulla elasticità dei corpi, dettate nell'Università di Palermo durante l'anno 

 scolastico 1887-88, {litogr., p. 69). 



