scritte con la segnatura di Lamé, si sanno integrare nell'ipotesi che le a 

 siano costanti, si ottengono per le u espressioni che, oltre le a , contengono 

 linearmente sei costanti arbitrarie a x , a 2 , ... , a 6 . Quando le a si pongono 

 uguali a zero, le u si riferiscono all' ipotesi della rigidità, e però sono nulle 

 le corrispondenti X e <p . Quindi l'eguaglianza che esprime il teorema di 

 Betti si scinde, per l'arbitrio ohe regna sulle a , in sei equazioni distinte, 

 che danno le condizioni dell'equilibrio rigido. Porre uguali a zero le a signi- 

 fica dunque trascurare moti rigidi, senza influenza sulla dilatazione. Se inoltre 

 si determinano le a mediante le solite sei equazioni di primo grado, il teo- 

 rema di Betti dà 



/ 0^S = — y IS Xi u'i dS+ftpi u't ds] , 



dove le u' rappresentano le particolari espressioni trovate per le u. Per 

 esempio, nel caso delle coordinate polari cilindriche, l'integrazione delle 

 equazioni 



~ÒUi lU 3 . 1 lU 2 



an——— ■ «23 = ^— + r— 



Ir lz 1 r l>xp 



!>u 2 lu 3 . 1 / Titti \ 



a%2=—~ ' «3i = -r— + — I— W A ' 



1>3 ir ' r \ Ixp / 



1 / l>u 3 , \ lUi . lUi 



dà 



p 1 = « 11 r -f- («1 sen xp -f- «2 cos xp) z -j- a 3 sen xp -f- « 4 cos ip , 

 ìu 2 =--a 2ì z-{- («12 — «1 sen xp — « 2 cos tp)r-\-a 5 , 



\u 3 = (a 33 — a n )rip-{-(a 1 cos ip — aaseni/^-f-^cosi// — a 4 $enxp-\-a 6 r-{-a3irlogr. 



Dopo ciò è facile ottenere, col processo indicato, le sei condizioni dell'equi- 

 librio rigido, poi, prendendo 



u\ = a n r , u\ = «22 s + a n r , u' 3 = (a 33 — a n ) rxp -j- a 3l rlogr , 

 la dilatazione totale dei corpi isotropi 



f 0dS =■ 3A-4B [ /(Xl r + X * S) dS + r + V* ds ~] ' 



ecc. È vero che ai risultati ottenuti in questo caso particolare si perviene 

 più rapidamente mercè la trasformazione diretta dei risultati analoghi in coor- 

 dinate cartesiane ; ma per questa trasformazione è necessario conoscere le rela- 

 zioni esistenti fra le coordinate dei due sistemi, e del resto il processo gene- 

 rale qui esposto ha il vantaggio di restare applicabile quando si esclude la 

 verità del postulato di Euclide nello spazio che si considera. 



« Nondimeno il detto processo è subordinato alla possibilità d'una defor- 

 mazione, che in rapporto alla rappresentazione prescelta si potrebbe dire una 



