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particolare deformazione omogenea. Ora, in virtù dei risultati cui è pervenuto 

 il prof. Padova nella Memoria citata, per la possibilità della deformazione 

 omogenea fan , a 22 , ... , a l2 ) nello spazio euclideo è necessario e sufficiente 

 che siano soddisfatte le relazioni 



/ g) / Oni_ , 1 Oij\ . Jk \ / Ojj_ . 1 _Oij\ . 1 / Ou_ . a kj \ 



ISi \ Vii 2 rji ) * ~òSj \ rji "^2 r a )■'],% Ds k \ r u 7" r }i ) 

 1 eia djj djj a^i : X /■_! 1 \ / cim ^ ajij \ 



/>2 y rì& r ij r ji r fo r *j 2 \ ì\ì riij ] \ Tij rji / 



' — n—+— w-(— +mi 



1 -rw r jk / r,,.j\ry r 4 »/ \r 12 r 13 r 23 r 2ì r 31 r 32 / 



Così nella rappresentazione polare cilindrica tutte le curvature sono nulle, 



eccetto -i- , e le condizioni precedenti si riducono ad a 23 = 0 , vale a dire 



che in quella rappresentazione sono possibili soltanto le deformazioni omo- 

 genee per le quali le particelle ruotano intorno ad assi tangenti ai corrispon- 

 denti cilindri coordinati. Affinchè il processo indicato anteriormente possa con- 

 durre alla conoscenza della dilatazione totale d'un corpo elastico isotropo è 

 necessario e sufficiente che sia possibile la deformazione omogenea per cui 

 è an = a 22 — a 33 , a 23 = a 3l = a 12 — 0 . Le condizioni trovate si riducono 

 alle seguenti 



1 



1 









1) — 



D — 







h 1 









l>Si 



DSj 



vi.. 



' y 



'/>%.. 

 1 ji 





ed è noto che queste sono soddisfatte nello spazio euclideo Adunque in 

 un tale spazio sarà sempre possibile dedurre direttamente dal teorema di Betti 

 la dilatazione totale d'un corpo isotropo, mentre non si può dire altrettanto 

 degli spazi non euclidei. Così negli spazi di curvatura costante, diversa da 

 zero, benché sussista sempre il teorema di Betti, non se ne potrà mai rica- 

 vare la formola che serve al calcolo della totale variazione di volume ». 



(!) Lamé, Legons sur les coordonnées curvilignes, p. 81. 



