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« Il concorrente De Paolis presenta al concorso un voluminoso lavoro 

 manoscritto intitolato : Fondamenti di una teoria puramente geometrica 

 delle curve e delle superficie. Questo titolo dà sufficientemente a riconoscere 

 lo scopo e T importanza del lavoro, il quale consta di un' Introduzione e di 

 tre successive Parti. 



« La considerevole estensione di questo manoscritto (p. 269 in folio) 

 renderebbe assai difficile il darne un rendiconto ragionato, senza entrare in 

 troppo minuti particolari. La Commissione ha perciò preferito di riportare il 

 sommario delle materie trattate in ciascun capitolo, facendo seguire, di volta 

 in volta, ed in forma molto succinta, i giudizii e gli appunti ch'essa ha cre- 

 duto di dover formulare in proposito. 



« I tre Capitoli di cui si compone l' Introduzione contengono le materie 

 seguenti. Gap. I. Varietà, elementi, di numero infinito, di numero finito (gruppo), 

 elemento semplice, elemento multiplo; secondo n; secondo co; gruppo con 

 elementi semplici, distinti ; gruppo di elementi n pU . Grado del gruppo ; di 

 grado n ; di grado co . Elemento comune a più gruppi ; elemento comune n pl °. 

 Gruppi concatenati. Gruppi che coincidono. Gruppi che si appartengono. Gruppo 

 parte d'un altro gruppo : gruppo contenente, gruppo contenuto. Gruppo unione 

 di più gruppi. Gruppo diviso in parti. Gruppo costituito da gruppi ; ag- 

 gruppamento d'ordine n. Estensione agli aggruppamenti delle definizioni date 

 per i gruppi. Aggruppamento che collega più gruppi. Cap. II. Fascio, o sistema 

 fondamentale di l a specie; è un gruppo di co elementi determinato da due soli 

 elementi. Supposizione su tre fasci che hanno a due a due un elemento 

 comune. Eete, o sistema fondamentale di 2 a specie. Teor. l.° Ad una rete 

 appartengono tutti i fasci che hanno con essa comuni due elementi. Teor. 2.° 

 Due fasci qualunque d'ima stessa rete hanno sempre un elemento comune ed 

 uno solo. Teor. 3.° Una rete è individuata da uno qualunque dei suoi elementi, 

 e da uno qualunque dei suoi fasci che non lo contenga. Teor. 4.° Una rete 

 è individuata da tre qualunque dei suoi elementi, purché non appartenenti 

 ad uno stesso fascio. Sistema fondamentale di 3 a specie, di 4 a specie, ecc.; 

 modo di generare tali sistemi. Teoremi sui sistemi Su. : dimostrazioni col 

 metodo d' induzione matematica. Sistema comune a più sistemi contenuti in 

 altro sistema. Sistemi 2. Principio di dualità. Numero delle condizioni affin- 

 chè due sistemi si appartengano. Cap. III. Corrispondenza biunivoca fra due 

 sistemi. Corrispondenza projettiva o projettività. Teoremi sulla projettività 

 dei sistemi. 



« Prescindendo dall'esposizione fatta in quest'Introduzione di alcune co- 

 muni dottrine e nozioni, vi si trovano le generalizzazioni di concetti relativi allo 

 spazio ordinario, insieme con dimostrazioni molto generali, rigorose e pretta- 

 mente geometriche. Rispetto alle proprietà dei sistemi fondamentali, analoghe 

 dimostrazioni erano state date già da Veronese ; ma il metodo seguito da De 

 Paolis è in gran parte nuovo. 



