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conda applica i risultati ottenuti nella prima, per stabilire la teoria dei numeri 

 e della misura. Nella parte prima, per avere risultati interessanti, l'autore 

 limita l'arbitrarietà che vi è nella scelta del fatto che si deve verificare per 

 dire che due enti di una data categoria sono uguali, in modo che l'ugua- 

 glianza segua alcune leggi caratteristiche, che si verificano nella uguaglianza 



0 equivalenza ordinaria. Definito poi che cosa s' intenda in generale per una 

 operazione eseguita sopra enti di una data categoria, e per risultato della 

 detta operazione, si ferma a considerare quelle operazioni S che sono ad un 

 sol valore, posseggono la proprietà commutativa e associativa, e che eseguite 

 su due grandezze A e B. ovvero su A e C, danno un risultato Eo R' essendo 

 E := R' se è B := C. L'operazione D, inversa di quelle S, eseguita su due date 

 grandezze, la chiama divergenza, e chiama grandezza modulo, seguendo Hankel, 

 il risultato della operazione D eseguita su due grandezze A, A. — Stabiliti così 



1 concetti della uguaglianza e disuguaglianza, delle operazioni S e D, e tro- 

 vate le loro principali proprietà, l'autore passa a studiare diverse classi di 

 grandezze, dicendo classe una categoria di grandezze alla quale appartenga 

 il risultato della operazione S eseguita su due qualunque di esse. È poi 

 molto opportuna la divisione delle classi secondo il loro numero di dimen- 

 sioni. Per classe ad una dimensione intende una classe tale, che, prese due 

 qualunque delle sue grandezze, se non sono uguali debbano essere disuguali, 

 ed una di esse debba essere maggiore dell'altra. Nel seguito della prima 

 parte l'autore si limita a considerare solamente classi ad un numero finito 

 di dimensioni, e specialmente quelle ad una dimensione, tra le quali distingue 

 quelle ad un senso da quelle a due sensi. 



<* Nella seconda parte del lavoro è svolta l'applicazione al numero e alla 

 misura, senza definire esplicitamente la parola numero, ma facendone nascere 

 il concetto, col dire che due grandezze qualunque hanno numeri uguali, o 

 numeri disuguali, secondo che esse sono uguali o disuguali ; è interessante 

 molto questo metodo, ed il modo col quale l'autore deduce tutta la teoria 

 nota dei numeri e della misura, dalle proprietà generali delle grandezze. 



« Un'appendice contiene la esposizione delle ordinarie teorie analitiche 

 del numero, messe in relazione con quella stabilita dall'autore. 



« Il Bettazzi ha seguito le traccio di Grassmann, Hankel, Stoltz, Cantor ecc., 

 ed in alcune parti del suo lavoro si spinge anche più avanti del punto a cui 

 sono giunti i geometri citati, svolgendo nuove considerazioni e ottenendo 

 nuovi risultati. La sua Teoria delle grandezze è anche pregevole per la chiarezza 

 della esposizione, ottenuta senza rinunziare alla profondità dei concetti, ed è 

 da desiderare che possa venire presto pubblicata, potendo il suo studio riu- 

 scire molto utile ai cultori delle matematiche, e specialmente a quelli che 

 si dedicano all'insegnamento secondario, e vogliano fare uno studio critico 

 dei principi fondamentali della loro scienza. Questo lavoro del Bettazzi, di 

 argomento difficile assai, merita molta considerazione. 



