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Dim. [4]. — Dalle definizioni del n. 1 si ha 



(kko-a) b = (kab) a = (o-a) b , 

 a X k'kVb = b X kVa = a X ab . 



Bim. [6] -[7]. — Ricordando che a X a = (Kaa) X si ha 



a X k'Kffb = I) X K(ra = I [aa] b | X = | (kffb) a { X = a X Kkab , 



il che prova che k'K = Kk. Operando prima a sinistra poi a destra con K, 

 si ha Kk'K = k . Kk' = kK , cioè si hanno le [5] . 

 Dalla [8], essendo x vettore arbitrario, si ha 



a X (k'kffb) X = b X (kffa) x = b X (ax) a = a X (K<rx) b , 



da cui. per l'arbitrarietà di a e per la [2], 



(k'kffb) X = (Kax) b = (kKab) x , 



^he dimostra la prima delle [6] ; da questa la seconda, indi le [7] . 

 Dim. [8]. — Dal n. 1 si ha 



(hktf) (a A b) = (kffa) b — (kab) a = ((xb) a — (era) b = — (htf) (a A b) . 



Dim. [9] . — Qualunque siano i vettori a , u , v , si ha 

 2V (era) X (u A v) = v X (tra) u — u X (aa) v = v X (kau) a — u X (k(rv) a 

 = a X ) (Kkffuj V — (Kk(rv) u { = a X (hKka) (u A v) = (KhKk<ra) X (u A v) 



che per l'arbitrarietà di uAv e di a dimostra la prima forma della [9]. 

 Da questa e dalla prima [5] si ha 2V = Khk'K ; operando a destra con K 

 ed osservando che VK = — K , si ha la seconda forma della [9] . 

 Dim. [lU]. — Dalle [9] e dalle [4] si ha 



2KV = hKk , 2KVk = hK , 2KVkK = h 

 2KV = — hk' , 2KVk' = — h. 



le formule 



(1) « A «^It) — b A "a = kCKkff (a A b) 



(2) bXtJa — aXTb^jhKfffaA^J) I X 



(3) (<rb) «a — (<Ta) «b = h (ktr . a) (a A b) 



(4) ((xa) « = k (k(r. «) a 



(5) h {«a) = a.\x<s , k [aa) = a . k<r , k' (aa) = Ka . Va , 

 K((ra)=K(T.a V((ja) = V<r.a , li (ffa) = li <r . « , 



k(<T«) = K(Ka:.Kkff) , K faff) k (kKff . Ka) , 2V{a(y) = — Kh(k'<r.K«) . 



