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Per rendersi conto dell'opportunità e importanza del simbolo k basta 

 confrontare le note formule 



rot u = 2V ^ , di7 u = Il ^ [A. V. G„ voi. I, pag. 70] 



con le prime forme delle [10] e [17]. 



Dim. [16], [IO*]. — Dalla [11], cambiando « in Ka e operando 

 con K, si ha la prima forma [16']. Da questa si ha la prima [16] (') 

 perchè, eliminando h con la prima [10], si ha 



Rot « = 2 KKVkKK ^ = 2 Vk ^ a . 



Le seconde forme si ottengono dalle prime con le formule del n. 2. 

 Dim. [17], [18], [18']. — Cominciamo cou l'osservare che qualunque 

 sia r iperomogratia a, eoiste un vettore u funzione di e tale che 



{a) I,(r = uX essendo u = — VhljO-, 



Esiste u perchè (I,<r)a= I,(<ra) deve essere (A. V. G., voi. I, pag. 9), 

 della forma u X . Ora si ha 



h(uX)A(aAb) = uXa.b — uxb.a = — uA(aAb), 



cioè 



h(uX) = — uA , u = — Vh(u X) = — Vhl,<r. 



Se a è vettore costante, si ha (A. V. G., voi. I, pag. 79) 

 (grad a) X a = div (Kaa) = \, \ ' =1^ k — a 



e) Oppure direttamente così. Per a vettore costante e dalla [^13] si ha 



(Rot «) a = rot («a) = 2V = 2Vk ^ . 

 Anche per U funzione di P si ha 



/ dn \ i du , . da da ) 



(Bota) u = rut(«a) -2V(«^| = 2V «^+k^«-«^^= ecc. 



« si ottiene lo stesso risultato ; il che deve avvenire perchè la funzione 2Vk ^ ottenuta 

 per a costante, è una omografìa come Rota. 



