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Da questo teorema il Tonelli ha poi dedotto, come caso particolare, quello 

 del Fubini ricordato più sopra. 



Noi qui seguiremo la via inversa; prenderemo, cioè, le mosse dal teo- 

 rema del Fubini per arrivare a stabilire una proposizione simile a quella 

 del Tonelli. 



Le coudizioni che dovremo porre sono forse alquanto più restrittive di 

 quelle poste dal Tonelli. pur potendo in molti casi coincidere; il nostro 

 teorema ha però il vantaggio di potersi dimostrare in un modo estremamente 

 semplice, che potrà forse permettere di dare al teorema stesso un'ulteriore 

 estensione ('). 



Daremo poi la dimostrazione d'un altro teorema, che può presentare 

 un qualche interesse. 



2. 11 teorema cui accennavamo poco fa è il seguente: 



Se i termini u„{x) della serie convergente 



1 



sono funzioni a variazione limitata in {a , b); e se, indicando con A una 

 costante finita e positiva e con V„ ìa variazione totale della Un{x) in 

 {a , b), sussiste la relazione 



(1) ÌV„<A, 



1 



sarà, quasi dappertutto, 



00 



U\x) = ^u'r,{x). 

 1 



Indicando con V„(jp) , P„(rr) , Q„(;r) rispettivamente la variazione totale, 

 positiva e negativa di Un{x) nell' intervallo {a , x), potrà porsi, per la nota 

 proprietà delle funzioni a variazione limitata: 



(2) " Un{x) — u„{a) = Tn{x) — Q„{x) , 



(') Il Tonelli nella Nota II {Successioni, di curve e derivazione per serie. Questi 

 Eend., 1' sem. 1916, pp. 85-91), s'era proposto di dimostrare che la 3* condizione posta 

 nel suo teorema è affatto superflua perchè conseguenza delle altre due; che si può cioè 

 prescindere dall'ipotesi sulla convergenza delle serie derivate. Il suo teorema però, così 

 modificato, cessa di esser vero; per convincersene, basta ricordare il classico esempio di 

 Abel: la serie 



n — X sen «a; 



2 " ■Y n 



soddisfa alle Cundizioui 1", e 2'-, del suo teorema; ciò nondimeno, la serie delle derivate 



cos nx 

 è divergente! 



