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e quindi anche 



(3) M(a;) — = 2 P«W — i Q«(^) • 



1 1 



E poiché 



v„{x)-{-q„{x) = Y„{x)^y„, 



sarà, per la (1), 



1 I 



■ 1 



Le due serie del primo membro dovranno essere convergenti, essendo le 

 7„{x) e Q„(a;) funzioni positive; potremo perciò porre 



00 



(4) l 



1 



dove (f{x) e ^p{x) saranno due funzioni finite in (a , b). E poiché le P„(^) 

 e Q,n{x) sono anche funzioni mai decrescenti, potremo applicare alle due 

 serie precedenti il teorema di Fubini : avremo così dalle (4), quasi dapper- 

 tutto, 



- f'(x) = 2 iKix) - Q;(a;)] ; 

 1 



ed anche, derivando la (2), 



(5) ^'{x)-'ip'{x)=^u',{x): 



la serie 2 u'n{x) sarà quindi, quasi dappertutto, convergente. 

 1 



Combinando le (4) e (3), si ha poi mediante derivazione, 

 (f)'{x) — ^>\x) — u'{x) ; 



e quindi, per la (5), quasi dappertutto, 



u'{x) = 2 u\{x) 

 1 



3. Passiamo ora a dimostrare l'altro teorema: 



Se i valori assoluti dei rapporti incrementati dei termini Un{^) 

 della serie convergente 



CD 



u{x) = 2 ^«(^) {a <- <. è) 



1 



EiNDicoNTi. 1916, Voi. XXV, 2» Sem. 10 



