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da cui, per la continuità di e y, si trae 



lim (p„{y^) = lim (pn(9{x,) ) = lim fj{ f,.{x^) ) = g{T) (« oo) . 



Se, in particolare, scegliamo come g la funzione x — X, avremo che 

 Y diventa zero, e la 9; si annulla per y — Quindi noi potremo, senza 

 ledere la generalità, ridurci al caso che la f{x) si annulli per a; = 0 e che 

 l'origine sia proprio il punto attorno a cui studiamo le iterate. 



2. L'enunciato del teorema, per le funzioni di una variabile, è il 

 seguente: 



Se una funzione f{x) die si annulla per x = 0, si può racchiu- 

 dere tutta (') in un quadrato avente la retta y=x come diagonale, il 

 quale comprenda l'origine almeno sul contorno-, se inoltre soddisfa, in- 

 sieme ai suoi valori-limiti nei punti di discontinuità, alla 



f{x) « [_w,xp(x)'] (si legga inclusa nell'intervallo, estremi esclusi) 



ove la ip è una funzione niella per x eguale a zero, monotona, soddisfa- 

 cente alla xp(tp{x)) = x; allora, scelto un x qualunque sulla 'porzione di 

 asse interna al quadrato, le iterate della f, ottenute partendo da x, con- 

 vergono a zero. 



Cominciamo dall'osservare che la »// è allora una funzione a periodo 

 di iterazione 2: si ha cioè 



■*pmj[x)) = x ; (/'(«) = /5 ; Ui^) = a. 



Siano ora 



i successivi iterati della /; si abbia cioè 



f{Xn—ì) = X„ ■ 



Poniamo I„ = {x„ , xfJ{Xn) ) : avremo 



, Iji-t-l In ■ 



Infatti, per le ipotesi fatte. 



■cioè 



(') Se soddisfa cioè alle condizioni 



