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Ora è facile vedere che, per le condizioni imposte, la. ip è negativa 

 per X positivo, e positiva per x negativo: in caso contrario non potrebbe 

 essere monotona, a periodo d'iterazione 2, e nulla per x = 0. Quindi l'in- 

 tervallo I„ avrà un estremo positivo bn ed uno negativo a„ (qualunque sia n) 

 che coincidono, a meno dell'ordine, con , ip{xn) [si ha quindi : ip{an) = bn, 

 xp{b„) = an']- 



3. Se ^ è un valore negativo dell'intervallo I„, sarà, per la monotonia 

 di ip, 



0<i// 



se invece è un valore positivo, per la stessa ragione avremo 



0>t//(?) >l//(è„); 



i due segni d'eguaglianza sono raggiunti solo per J = a„ o ^ = bn. In ogni 

 caso però, se escludiamo gli estrerai, si ha 



Ma, per le proprietà della ip, essendo già bn = fp{an), avremo (') 

 a„ = xp{b„) < i/;(^)< = xp{an) . 

 In particolare, se f = a^n+i , avremo 



SP(aj„-Hi) « In ; 



e tenuto conto che anche 

 avremo 



I«-i-l (,(, In- 



Quindi gli intervalli In+h sono tutti interni ad I„; epperò i loro estremi 

 inferiori formano una successione negativa crescente ao , ai , ... : i superiori 

 ne formano un'altra positiva decrescente , bi ... con la relazione 



ìpian) = bn ; 4'{bn) = • 



4. Siano a e |S i due limiti della successione a» e della successione bn', 

 per la continuità (*) di xp , sarà xp(a) — fi , xp{§) = « , e possiamo avere i 

 seguenti casi: 



(') Si verificano quindi contemporaneamente le relazioni 



(^) Se la ip non fosse continua, basterebbe che fosse 

 rp[a) = lim sup xjj{c( — 0) 



per a negativo, e 



\jj (jS) = lim sup (j3 -f 0) 



per jS negativo : cioè la sarebbe semicontinua superiormente a destra per x positivo 

 ed a sinistra per x negativo. 



