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Caso I. Fra le a si trovano infinite x,, -, e fra le b anche ; le ce ^ 

 supposto per semplicità Xo negativo, saranno quindi distribuite nelle a , b 

 nel seguente modo: 



è = XpiXd) , ... t/;(x,„) , Xm+i ... CC« - ^{Xn+l) ^ - . V^l^) , ^p+l , - , ••• 



Consideriamo la successione Xm . , ••• : essa tenderà ad a ; cosi la 



successione x^+i , , ... tenderà a /5 . 



D'altra parte però, Xm+i = /"(^m) ; = • • 



Quindi, le x,n+i , , ... devono anche tendere ad f{«) , se la /' è 



ivi continua: o, più generalmente, il loro punto limite fi sarà uno dei limiti 



f{a =t 0) se f è discontinuo. Si ha quindi che la successione decrescente 



positiva 



avendo un solo limite, sarà 



il che si verifica solo per a = 0 . per le ipotesi fatte. 

 Quindi sarà 



lim an = ce = 0 ; lim bn = = 0 ; 



opperò anche lim Xn = 0 . 



Caso II. Fra le a^ (o fra le bn) si trova un numero finito di ce . 

 Allora, da un certo m in poi, tutte le Xm appartengono alle b (o alle a). 

 Quindi la successione positiva decrescente (o negativa crescente) 



•^m 1 X'ffi-i-i , • ■ • 



tenderà al limite /? (oppure a). 



Ma f{Xm) = Xm+\ , ■•• : quindi è uno dei valori f{j3±0) [a è uno 

 dei valori /(« 0)] . 



Ed anche questo avviene solo per = Q (o a = 0) : quindi sarà anche 

 !//(/?) = a = 0 [e rispettivamente /S = xp{a) = 0] : cioè gli intervalli I„ 

 tendono a zero, e con essi le Xn- 



Con questi due casi, perciò, resta esaurita la dimostrazione del teorema 

 enunciato. 



5. Per il caso di n funzioni di n variabili, il teorema e la dimostra- 

 zione sussistono inalterati. Bisogna solo fare le seguenti convenzioni (ó altre 

 analoghe). Una ra-pla di valori [^] = (f, , ...i„) è minore di un'altra , ...r]n) 

 se ogni ^ non è minore del corrispondente ì] , ed almeno uno è maggiore. 



