— 158 — 



I) Per un punto qualunque ?{a) del piano passa luna curva Cp del 

 sistema 2, e precisamente quella che corrisponde a 



X = (p,(ld],\a\) ; 



pertanto si può dare il nome di fascio al sistema 2. 



II) Ogni semiretta uscente dal punto 0 riscontra una qualunque curva 

 del fascio 2 \n un punto. 



Ili) Si dirà che un punto P è interno ad una curva a del fascio 2 

 se esso, sulla semiretta OP, cade fra 0 ed il punto in cui OP sega e. 11 

 punto 0 è da considerarsi interno a tutte le curve del fascio. 



IV) Si dirà ampiezza di una curva e di ^, cui competa il valore 

 di A, l'estremo superiore di (p[d,X^) fra 0 e 2;r. L'ampiezza di e è 



l'estremo inferiore dei raggi dei cerchi di centro 0 che contengono nel loro 

 interno tutti i punti interni a a. 



V) Se il punto P(a) è interno ad una curva a del fascio la 

 curva Gp si dirà interna a ff; tutti i punti interni a Cp , o situati su questa 

 curva, sono interni a a . 



Infatti, detti rispettivamente X' e X" i valori di X corrispondenti a Cp 

 ed a ff, e indicato con P' il punto in cui g è segata da OP, si ha 



^ op = y(M,A') 

 /op'=9)([fl],r) 



da cui, essendo P interno a cr e quindi OP<[OP', ed essendo (p sempre 

 crescente rispetto alla seconda variabile ; si ha X' <^ X' . 



Sia ora Q(Z') un qualsiasi punto interno o situato su Cp, e sia Q' il 

 punto di sezione di OQ con tr, sarà 



il chè, per 1" ineguaglianza X" <; A' e per la proprietà di (p più sopra invo- 

 cata, mostra che OQ<|OQ', e quindi che Q è interno a e. 



S! ha pure evidentemente che l'ampiezza di ffp è minore di quella di e. 



VI) La condizione che un punto Q,{b) sia interno ad una curva ffp^ay. 

 del fascio 2, può esprimersi con l'ineguaglianza 



\à\<9m,g>.{[a-]:a\){ 

 cioè, più simmetricamente, 



(6) 



