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avendo osservato che se, in generale, /' simboleggia una funzione sempre 

 crescente [quale è , ce)] , da m <^ y può dedursi f(u)<if{v). 



Anche più semplicemente, introducendo l'operazione F definita da 



(7) n^) = ya(W,kl), 

 la (6) può scriversi 



(8) r{b)<r{a). 



Premesse le precedenti considerazioni preliminari possiamo enunciare e 

 dimostrare il teorema che forma l'oggetto della presente Nota: 



Se la funzione F(^) $i annulla 'per ^ = 0, ed è possibile determi- 

 nare la funzione (p, die serve a definire il fascio ^, in modo che in tutti 

 i punti interni ad una curva <t di questo fascio ¥{3) sia continua (') e 

 soddisfi alla condizione 



(9) . rF{z)<r{z); 



l]ver ogni Zo interno a la successione 



^0 , ^1 = F(^o) , -^2 = , ... 



è convergente ed ha per limite lo zero. 



Infatti, per le (8) e (9), se V{a) è un punto interno a o", Q(P(^5f)) sarà 

 interno a Cp epperò pure a V, a cui Cp è interna. Quindi, essendo P(^o) 

 interno a a, anche i punti ^{zO , PC^j) , ... saranno tutti interni a questa 

 curva; epperò P(^;+i) è sempre interno a e,, aveudo indicato brevemente 

 con questo simbolo la curva di 2 che passa pel punto ^{zi). 



Ne segue che ciascuna delle successive curve 



è interna alla precedente, epperò deve verificarsi uno dei seguenti due casi: 

 1°) Le ampiezze delle successive curve ff^ , e, , ... tendono a zero. 

 2°) Esiste una curva limite e', interna a tutte le curve C; e tale 

 che, fissato ad arbitrio il numero positivo s, è sempre possibile trovare un 

 intero r, tale che l'estremo superiore della differenza dei moduli di due qua- 

 lunque numeri complessi i cui indici siano interni a (Js, ma non a a\ sia 

 minore di 



Dico che il 2° caso non può mai verificarsi. 



(') Alla condizione di cor.tinuità, che imponiamo per brevità, se ne può sostituire 

 una meno restrittiva (ved. in proposito l'analoga osservazione nella mia Nota citata in 

 principio). 



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