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Infatti, supposto che esso si verifichi, consideriamo due punti P(5n) e 

 P(5„+,)i e chiamiamo S(fl!„) e S(fl„+i) i punti in cui a' è incontrata 



rispettivamente dalle semirette 0P(2„) e 0P(2„+i). Essendo evidentemente 

 i punti P(^„) , '2{Zn+i) , S(a„) e S(a„+i) interni a e e non interni a «r', potrà 

 scriversi 



(10) |2„| — =i5„ — 6!„1 <e, 



(11) — |(5f„+i j = — «,n_i!<«. ■ 



Per la continuità di F(^), dalla (10) si ha 



(12) \f{s>:)- f{an)\<ri. 



avendo indicato con un opportuno numero positivo, che può rendersi pic- 

 colo a piacere impiccolendo sufficientemente s. La (12) può scriversi 



\:.„^,—f{an)\<ri 



da cui. sommando con la (11) ed applicando il teorema sul modulo di una 

 somma, 



(13) i /■(«.) — «'.-'!<* + '/ • 



Passando al limite per n-^oo ed indicando con S{a) ed S(a') due 

 punti limiti, in generale diversi, del gruppo di punti di a': S{a„) , S(«„+i), 

 la (13) fornisce 



(14) ¥{a)==a; 



d'altra parte, esprimendo che S(a) e S{a') sono su di una medesima curva 

 {a') del fascio 2, si ha 



(15) r(a') = r{a); 

 dunque è 



(16) rF{a) = r{a). 



Ma, essendo S(a) un punto interno a e, si deve avere per la (9) 



rF{a)<r{a). 



dunque il supporre che si verifichi il secondo caso conduce ad una contra- 

 dizione. 



Dovendo allora verificarsi necessariamente il 1" caso, dato ad arbitrio 

 il numero positivo s, potrà determinarsi un intero »• tale che per n^v 

 l'ampiezza di g^-i sia minore di f , e quindi, essendo P(5n) xm punto interno 



2« ! < f , 



