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il chè mostra che il limite della successione 



esiste ed è lo zero, c. b. d. 



Supponendo in particolare s reale si ha 



I r{z) = cp,{o,\s\) , s>o. 



Com'è facile vedere, ne segue che, limitandosi a considerare i valori reali 

 di i e supponendo che F(s) sia reale per s reale, la (9) equivale alle con- 

 dizioni 



(17) 

 cioè 

 (18) 



\ ^<P(5)<</)}0,9.,(7r,i^|){ , 5<0, 

 ( -Jp-i(|,i)<F(^)<^ , ^>0, 



avendo posto 



(19) 9i{x) = ^\0 .(fi(7r , a; > 0 , 

 e 



(20) = (p\7T ,(p,{0 , x^O, 



dopo aver osservato che si ha identicamente 



g\Tt,(p,{0,^:{a;))\=x. 



Osserviamo : 



1°) che riguardando, nelle (19) e (20), ^^x) come una funzione data, 

 nulla per x = 0 e sempre crescente per x crescente, possono trovarsi infi- 

 nite funzioni <f{x,y) soddisfacenti a quelle equazioni; 



2°) che se si pone 



a = 9 (tt , ce) , 



per la (20) si ha 



«P(a) = <^(0 , . 



In conseguenza dal teorema generale si deduce in particolare che: 

 Se la funzione reale ¥{2) della variabile reale 2, si annulla per 

 5 = 0, ed è possibile determinare una funzione ^{x), nulla 'per x = 0 e 

 sempre crescente per x crescente^ in modo che in tutti i punti di un 

 intervallo 



l = [—a,^i[a]'] , a'>0 



