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presente Nota che esso si collega, in modo singolare, con la teoria dei sistemi 

 commutativi di numeri ad n unità irriducibili (éj ,^2,... e da questa 

 riceve la sua soluzione completa, eccettuati alcuni casi particolari di cui si 

 dirà più oltre. 



Ad ogni tale sistema commutativo di numeri {ei , , ... e„) corrispon- 

 dono in effetto infinite forme differenziali soddisfacenti alle condizioni enun- 



ciate a) e b), precisamente ne corrispondono oo 2 , e le relative espres- 

 sioni dei coefficienti aiìi in funzione delle variabili Xi ,Xz , ... Xn si trovano 

 senza alcuna integrazione. Medesimamente per ciascuna di queste forme la 

 riduzione al tipo normale (2) richiede soltanto operazioni algebriche. L'algo- 

 ritmo dei sistemi (commutativi) di numeri complessi superiori riceve così 

 un nuovo significato che sembra degno di attenzione. Essendo ben noti per 

 esempio tutti i sistemi di numeri a ^ ed a 5 unità, si possono subito scri- 

 vere (ved. n. 7) le possibili forme corrispondenti del cW^ del piano e dello 



spazio con valori costanti pei simboli | ^ | di Ghristoffel. 



2. Cominciamo da una ricerca più generale e domandiamo come, date 

 in funzione delle x le espressioni 



^'"^ . i s ) 



dei simboli di Christoffel per una qualsiasi forma differenziale (1), si pos- 

 sano calcolare i coefficienti aiu. Bene inteso che, per le proprietà dei detti 

 simboli, le espressioni date yi^s non debbono cangiare permutando i due 

 primi indici, cioè si deve supporre 



(3) Yiiis = Ykis ■ 



Le formole al § 31 (19*) del mio libro citato dimostrano che le fun- 

 zioni fltift delle X dovranno soddisfare al seguente sistema di equazioni ai 

 ■differenziali totali : 



(I) — ^ = Yux anx + T Yux 



^^l X X 



(«■ , /e , / = 1 , 2 , 3 , ... ra) . 

 Ma anche viceversa, se le aiu soddisfano le (I), ed è diverso da zero il 



determinante k = \aik\, il valore del simbolo ; per la forma differen- 



' ( s ^ 



ziale (1) sarà dato da Yihs- E infatti, se formiamo dapprima dalle (I) il 



valore del simbolo di prima specie , = 7: ( — ) , 



L J 2 \ ^^ft i)Xi J 



troviamo 



\...n 



rik~\ 



kX dix , 



