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Ma, in generale, se le ynix sono date comunque in funzione delle x, il si- 

 stema differenziale (I) non avrà soluzioni. Per esaminare la cosa più da 

 vicino, occorre formare le condizioni d' integrabilità 



\ lìXi I liXi, \ l>Xj I ' 



■che si calcolano subito nelle seguenti : 

 .(4) < ' ^ 



^Queste, ove non siano identità^ dànno luogo ad un certo numero di equa- 

 zioni lineari omogenee nelle «jft, mediante le quali altrettante delle 

 potranno eliminarsi dalle (I). E così continuando, come insegna la teoria 

 generale, si perverrà a riconoscere se le (I) sono compatibili, e quale grado 

 •di arbitrarietà (quante costanti arbitrarie) possiede la soluzione completa. 



3. Il caso che a noi più interessa è quello appunto in cui le condizioni 

 -d' integrabilità (4) si trovano identicamente soddisfatte, sussistendo per tutti 

 i valori degli indici le relazioni 



(A) . = 0.. 



(^,A,z,y, = i,2,3,...«). 



In questo caso il sistema (I) è completamente integrabile, e la sua solu- 

 zione generale contiene, linearmente ed omogeneamente, ^ costanti 

 arbitrarie. Ora, per ogni soluzione (aut) delle (I), i valori corrispondenti dei 

 simboli < [ eguagliano, come si è visto, le espressioni date y.fts , ed il 



primo membro delle (A) coincide col valore del simbolo a quattro indici e 

 di seconda specie {Lesioni, § 34) 



^ loo- A 



(^) Ricordiamo che ku ha il significato Aj, = — (A = |aiA,l) ed Ssi rappve- 



■senta 0 per s = X, e 1 per s = A . 



