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Il venficardi delle (A) esprime adunque che sono nulli i valori di tutti 

 questi simboli, e per ciò anche dei simboli di Riemann {ik,lj). La forma 

 differenziale (I) risulta adunque a curvatura Riemanniana nulla; e viceversa,, 

 se questo accade, le (A) sono altrettante identità, onde concludiamo: 



// sistema differenziale (I) è completamente integrabile nel solo caso 

 delle forme differenziali a curvatura Giulia. 



Possiamo presentare questo risultato sotto altra forma, dicendo che ogni 

 forma differenziale a curvatura nulla 



^...n 



(5) . ds^ =^ aik dxi dx^ 



ik 



n(/t-t-l) 



ne determina oo 2 altre 



ì...n 



(5') ds" = y o'iu dxi dxh , 



ik 



a k) 



che hanno a comune con la prima i valori dei simboli j ^ | di Christoffel. 



Fissate due di queste forme (5), (5'), si possono riguardare come esprimenti 

 i quadrati ds^ , ds'" degli elementi lineari di due spazii euclidei S„ , , e 

 ne risulta una rappresentazione dell'uno spazio sull'altro (0 dello spazio 

 euclideo sopra sè stesso), ove si riguardano come corrispondenti i punti 

 dati dagli stessi valori delle variabili , .V2 , ... Xn- È facile vedere che: 

 queste rappresentazioni conservano la proporsionalilà dei volumi (meglio 

 degli ipervolumi per n^3, delle aree per n = 2). E infatti se A , A' sono 

 i due discriminanti delle forme (5), (5'), si ha per note formolo (Lezioni, 

 voi. I, pag. G5) 



DlogA _ DlogA' _ ^\^{il} 

 IsXi lixi " — ( O ' 



onde segue che A' differisce da A per un fattore costante di proporzionalità. 



4. Lasciamo queste generalità e veniamo ora all'oggetto nostro speciale, 

 cioè: alla ricerca delle forme differenziali (1) a curvatura nulla, con 



\ik) 



In tal caso le (A) diventano >_ /,7s /sj). = T y^s /«^x , ovvero, permu- 



valori costanti yiks pei simboli 



tando gli indici di sommazione i,l, col tener presente la (3): 



(B) >_ rus Ysjx = y_ Yijs Ysa {i , ^ , j , l = 1 ,2 ,S , ... n) . 



Per quanto precede, queste (B) esprimono le condizioni necessarie e 

 sufficienti affinchè le costanti Yihs appartengano, come valori dei simboli 



