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non sia idenlicamenle nullo nelle xi, riguardate come variabili indipendenti. 

 Che quest'ultima condizione non sia una conseguen'/a delle (B) è manifesto^ 

 poiché p. es. se si prendono nulle tutte le si soddisfano le (B), ma 

 insieme si annulla anche J . 



5. Kitornando al nostro problema delle forme differenziali (1) a curva- 



tura nulla, e con valori costanti yìtìs pei simboli ] ; , diremo per brevità 



singolare una tale forma quando per quei valori /iSs sia identicamente nullo 

 il determinante J . Lasciando da parte queste eventuali forme singolari, 

 possiamo concludere intanto: Ad ogni forma differenziale quadratica in n 



variabili a curvatura nulla, e con valori collanti yihs pei simboli | ^ | , 



che non sia singolare, corrisponde un sistema commutativo di numeri 

 ad n unità; viceversa ad ogni tale sistema commutativo corrispondono 



CO 2 forme differenziali (1) dotate delle proprietà volute. 



Supposto ora assegnato il sistema commutativo di numeri {e^ , Ci , ... e„), 



domandiamo: come si trovano le oo « forme differenziali corrispon- 

 denti? Il problema consiste nell' integrazione del sistema (I), completamente 

 integrabile, di equazioni ai ditferenziali totali; ma, poiché questo sistema 

 é lineare omogeneo a coefficienti costanti, si riduce subito ad un sistema 

 di equazioni ditferenziali ordinarie lineari ed a coefficienti costanti, e bastano, 

 operazioni algebriche (la risoluzione della relativa equazione caratteristica) 

 per compiere l'integrazione. Abbiamo dunque il risultato: 



n(n+l) 



Le CO ^ forme differenziali quadratiche^ soddisfacenti alle condi- 

 zioni a) b) del n. 1, che corrispondono ad un dato sistema commutativa 

 di numeri [d , e^ , ... Cn) si trovano senza alcuna integrazione. 



È manifesto che quest' ultimo risultato vale anche per le eventuali 

 forme singolari, assegnati che siano i valori delle costanti 5',^, compatibil- 

 mente con le (B). 



6. Ora dobbiamo ricordare che un sistema di numeri (e, . e^ , ... e„) 

 può ricevere infinite forme equivalenti (che si computano dello stesso tipo), 

 e ciò cangiando le unità fondamentali Ci ,e^ , ... e» in altre ^1,62, ... ~en 

 del sistema, secondo una sostituzione lineare ed omogenea 



(8) 'ei=y_ Cir Cr , 



r 



dove le Cir sono costanti qualunque, così però che il modulo 0 determinantfr 

 \cir\ della sostituzione sia diverso da zero. Con questo mutamento delle unità 

 fondamentali, restano anche cambiate le costanti y^ss in altre nuove 7,•fts^ 

 che si calcolano subito dalle conseguenti relazioni lineari 



(9) y_'yi!CKCx^. = ^yrsii.CirCks {i , k , ... fi = l ,2 , . .n)^ 



