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Queste, tenendo fissi i,k^ dànno per 'ym ..^m , — y%-hn n equazioni lineari 

 con determinante |(?xj;.|4=0 e si risolvono immediatamente. 



Dopo ciò, è ben naturale domandare: quale significato ha per le 

 corrispondenti forme differenziali quadratiche questo cambiamento di 

 unità ? Per vederlo eseguiamo, sulle variabili x di una delle nostre forme 



differenziali, sia ds"^ = ^aikdxidxu, la sostituzione lineare intera 



ik 



I...n 



(10) CCj = \_ Cri Xr + Ci , 



dove le Cri sono le costanti stesse che già figurano nella sostituzione 

 (trasposta) (8), e le ^1,^2, ... Cn indicano nuove costanti arbitrarie. Suppo- 

 niamo che, per questa sostituzione (10), la forma data si cangi nell'altra 



^__aiìidXidXk, e indichiamo con un soprassegno ] [ i nuovi valori dei 



simboli di Christoffel. Applichiamo allora lo formolo fondamentali di Chri- 

 stoffel per l'equivalenza di due forme quadratiche [ved. Lezioni, § 30, 

 formolo (II)]: 



D^^r 'y" i^rs\ 7) .Tv ^ i k \ l)Xi ixu 



e siccome qui, a causa delle (10), 



l)Xi It^x 



^ = 0, 



ne verrà 



>_ I ^ I <?X(J. = >L j ì Cir Cks 



che, mutando le notazioni degli indici, scriviamo 



{rs} 



ir s) 



Se si confrontano queste formolo con le (9), ricordando che ] [ = Yrs\). -, 



ii k) _ 



se ne deduce subito ] , [ = Ym , e si vede quindi che : il cangiamento 

 delle unità corrisponde al passaggio dalla prima forma differenziale 



\...n 



21 aiu dxi dxk alla equivalente ^ aijt dXi dxj, , mediante la sostituzione li- 



ik «Te 



neare intera (10) eseguita sulle variabili. 



