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Si conclude che basta, per ogni sistema commutativo di numeri, fissare 

 una determinata forma come normale e calcolare, secondo il n. 5 le forme 

 differenziali corrispondenti ; dopo di che, operando sulle variabili di una tale 

 forma la più generale sostituzione lineare intera (10), si avranno tutte le 

 altre forme differenziali appartenenti al medesimo tipo. 



7. Se applichiamo questi risultati generali ai casi n = 2 e ?e = 3, 

 troveremo le forme (non singolari) del ds^ del piano e dello spazio ordi- 



nario con valori costanti pei simboli ■ ^ j di Christoffel. Per questo ricor- 

 riamo alle tabelle date al § 4, Kap. 21 del citato libro di Lie-Schefifers. 



Caso n = 2i. Esistono due soli tipi di sistemi di numeri a due unità 

 (^1 , ^2), ambedue commutativi, e definiti dalle rispettive formole di molti- 

 plicazione elementare 



Tipo I) 61 = 0 . e\= ei , 6^,62 = 61 

 Tipo II) e\ = ei , ^1 = — e, . 6,^2 = ^2, 



ove il rappresentante del secondo tipo è stato scelto in guisa da corrispon- 

 dere agli ordinarii numeri complessi. I corrispondenti valori dei simboli di 

 Christoffel sono quindi : 



Tipo I) ^'^Uo i^l^-o-P^Uo FU 1.^12) 



Tipo II) S^^^ = X i^l^o-FU-l i22)_o.il2)_ (12) _ 



e, integrando (n. 5) le relative equazioni (I). troviamo pei coefficienti della 

 forma differenziale 



ds^ = Oli dx\ -\- 2ai2dxi dx^ -\- «22 dx\ 

 le espressioni seguenti : 



Tipo I) aii = ae^""-' , = {ox, + b) e'''''- . a^, = {ax\ -f 2bx, + c) e""^-' 



Tipo II) «11 = {a-\-h sen 2^2 + e cos 2x^ e^^-^ , 



(2,2 = (b cos 2x.i — c sen 2xì)e'^^'^ , aii — [a = h sen Ix-i — c cos 2^2) e**' . 



Ambedue le volte a ,b ,c indicano tre costanti arbitrarie, solo che nel primo 

 caso deve essere ac — =j= 0, nel secondo — b"^ ■ — affinchè non 

 si annulli il discriminante della forma. 



Caso w = 3. Esistono cinque tipi diversi di sistemi di numeri a tre 

 unità, dei quali però uno, perchè non commutativo, non entra in conside- 

 razione nel caso nostro. Gli altri quattro (commutativi) sono contrassegnati 

 dalle rispettive formole elementari di moltiplicazione: 



